Chapter 1 信号与系统¶
1 信号与系统的基本概念¶
1. 1 信号¶
- 信号：信息的载体，通常以声、光、电等形式传递信息。
| 确定信号 | 随机信号 | |
|---|---|---|
| 定义 | 在定义域上的任意时刻都有确定的函数值 | 在任意时刻的取值具有不确定性，只能描述其统计特性 |
| 示例 |  |
 |
| 连续时间信号 | 离散时间信号 | |
|---|---|---|
| 定义 | 在信号存在的时间范围内，除有限个间断点外，任意时刻都有定义 | 只在某些不连续的、固定的时刻给出函数值，其他时刻没有定义 |
| 表示 | 用 \(t\) 表示连续时间变量 | 用 \(n\) 或 \(k\) 表示离散时间变量 |
| 示例 |  |
 |
| 信号类型 | 时间 | 幅值 |
|---|---|---|
| 连续信号 | 连续 | 连续 |
| 抽样信号 | 离散 | 连续 |
| 数字信号 | 离散 | 离散 |
抽样与量化
- 抽样（Sampling）：把连续时间信号变为离散时间信号。
- 量化（Quantization）：把连续幅值映射到有限个离散幅值。
- 周期信号：满足 \(f(t)=f(t+nT)\)，其中 \(n=0,\pm1,\pm2,\ldots\)
- 基波周期：满足条件的最小正值 \(T\)
- \(f=\frac{1}{T}\)，\(\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\)
| 正弦周期信号 | 复杂周期信号 | |
|---|---|---|
| 定义 | 简谐信号 | 除简谐信号外的周期信号 |
| 示例 |  |
 |
- 非周期信号：不满足上述周期条件
| 瞬态信号 | 准周期信号 | |
|---|---|---|
| 定义 | 脉冲、衰减函数等 | 由多个频率成分组成，但频率比不满足有理数条件 |
| 示例 |  |
 |
能量信号与功率信号
连续时间信号 \(f(t)\) 的能量和平均功率分别定义为：
离散时间信号 \(f(n)\) 对应为：
通常：
- 能量信号：\(0<E<+\infty\)，平均功率为 \(0\)。
- 功率信号：\(0<P<+\infty\)，总能量为无穷大。
- 零信号既可视作特殊的能量信号，也可视作特殊的功率信号。
1. 2 系统¶
- 系统：若干相互作用、相互联系的事物按照一定规律组成的、具有特定功能的整体。
- 输入信号称为激励（Excitation），常用 \(e\) 表示。
- 输出信号称为响应（Response），常用 \(r\) 表示。
| 定义 | |
|---|---|
| 连续系统 | 输入信号和输出信号均为连续信号 |
| 离散系统 | 输入信号和输出信号均为离散信号 |
时不变性质
| 定义 | |
|---|---|
| 时不变系统 | 输入延迟（或提前）多少，输出也延迟（或提前）多少 |
| 时变系统 | 不满足上述关系，系统特性会随时间变化 |
线性时不变（LTI, Linear Time-Invariant）系统
- 微分特性：若 \(f(t)\to y_{zs}(t)\)， 则 \(f'(t)\to y'_{zs}(t)\)
- 积分特性：若 \(f(t)\to y_{zs}(t)\)， 则 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{t} f(\tau)\mathrm{d}\tau \to \displaystyle\int_{-\infty}^{t} y_{zs}(\tau)\mathrm{d}\tau\)
- 系统的基本作用：对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。
1. 3 通信系统¶
- 通信的目的：实现消息的传输。
- 通信系统：为传送消息而装设的全套技术设备，包括传输信道。
信号与系统的关系
- 信号由系统产生、发送、传输、处理和接收，离开系统没有孤立存在的信号。
- 系统的功能就是对信号进行加工、变换与处理，不处理信号的系统没有存在意义。
2 信号的运算¶
- 相加运算要求在同一时刻（或同一离散时刻）对两个信号的取值进行对应相加，即：
- 相乘运算要求在同一时刻（或同一离散时刻）对两个信号的取值进行对应相乘，即：
- 微分运算：连续信号 \(y(t)=\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\)，间断点处的导数可以用冲激信号表示，冲激的强度等于信号在间断点处的跃变值。
示例
- 积分运算：\(y(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\,\mathrm{d}\tau\)
示例
- 反转运算：针对函数自变量的变换，如 \(f(t)\xrightarrow{t\to -t}f(-t)\)，几何上相当于将信号关于纵轴作镜像变换。
示例
-
时移运算：针对函数自变量的变换，如 \(f(t)\xrightarrow{t\to t-t_0}f(t-t_0)\) 表示信号右移 \(t_0\)，对应通信系统中接收信号相对于发送信号的延时。
-
连续信号的尺度变换：\(f(t)\xrightarrow{t\to at}f(at)\)
- \(a>1\)：时间尺度压缩，波形沿时间轴压缩。
- \(0<a<1\)：时间尺度扩展，波形沿时间轴扩展。
-
离散信号的尺度变换：设 \(m\) 为正整数，则
- 抽取：\(f(k)\rightarrow f(mk)\) 表示在原序列中每隔 \(m-1\) 个点抽取一个样值。
- 内插：\(f(k)\rightarrow f\left(\frac{k}{m}\right)\) 表示在原序列各点之间插入 \(m-1\) 个点。
-
自变量变换的一般形式：\(f(t)\rightarrow f(at\pm b)\)
-
卷积运算：\(f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau\)
直观含义
先把一个函数反转，再沿时间轴滑动，与另一个函数相乘并进行叠加。
连续卷积的直观示例
假设馒头生产速度为 \(f(t)\)，一天后生产的馒头总量为：
馒头生产后会逐渐腐败，腐败函数为 \(g(t)\)，那么生产于时刻 \(t\) 的馒头，经过一天后腐败了 \(24-t\) 小时，其腐败量为 \(g(24-t)\)，则一天后的总腐败量为：
3 典型的连续信号¶
- 指数信号：\(f(t)=Ae^{\alpha t}\)，对时间的微分和积分仍然保持指数形式。
\(\alpha\) 决定信号的变化趋势
-
单边指数信号：\(f(t)=Ae^{-t/\tau} \, (t>0)\)，其中 \(\tau\) 为时间常数，\(\tau\) 越小，信号衰减越快。
-
正弦信号：\(f(t)=A\sin(\omega t+\theta)\)
欧拉公式
复平面上，单位圆上与实轴夹角为 \(\theta\) 的点可用极坐标和直角坐标分别表示为：
其中，\(j\) 是虚部单位，满足 \(j^2=-1\)。
由欧拉公式可得：
令 \(\theta=\omega t\)，则复指数函数与三角函数之间可以相互转换：
- 单边衰减正弦信号：\(f(t)=\begin{cases}Ke^{-\alpha t}\sin(\omega t), & t\ge 0,\ \alpha>0,\\0, & t<0.\end{cases}\)
- 采样信号：\(\operatorname{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t}\)，有积分性质 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{Sa}(t)\,\mathrm{d}t=\pi\)
- 单位斜变信号：\(R(t)=\begin{cases}0, & t<0\\t, & t\ge0\end{cases}\)
-
有延迟的单位斜变信号：\(R(t-t_0)=\begin{cases}0, & t<t_0\\t-t_0, & t\ge t_0\end{cases}\)
-
单位阶跃信号：\(u(t)=\begin{cases}0, & t<0\\1, & t>0\end{cases}\)，\(t=0\) 处通常取未定义，也可以约定取 \(\frac{1}{2}\)。
- 有延迟的单位阶跃信号：\(u(t-t_0)=\begin{cases}0, & t<t_0\\1, & t>t_0\end{cases}\)
用单位阶跃表示其他信号
- 门函数：\(G_\tau(t)=u\left(t+\frac{\tau}{2}\right)-u\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\)，又称矩形窗函数，其他函数乘以门函数后只保留门函数有效区间内的部分。
- 符号函数：\(\operatorname{sgn}(t)=\begin{cases}1, & t>0,\\-1, & t<0.\end{cases}\)，可以用单位阶跃表示为 \(\operatorname{sgn}(t)=-u(-t)+u(t)=2u(t)-1\)
- 冲激信号：脉冲信号在脉宽趋于零、面积保持为 \(1\) 时的极限。若三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲或抽样函数的脉宽 \(\tau\to0\)，且面积保持为 \(1\)，都可以认为其极限是冲激函数。
常用矩形脉冲逼近
当 \(\tau\to0\) 时，脉冲宽度趋于 \(0\)，脉冲高度趋于无穷大，但面积始终为 \(1\)：
冲激信号的性质
-
抽样性
- 若 \(f(t)\) 在 \(t=0\) 处连续且处处有界，则有：
\[ \delta(t)f(t)=f(0)\delta(t) \quad , \quad \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\,\mathrm{d}t=f(0) \]
- 移位后同理有：
\[ \delta(t-t_0)f(t)=f(t_0)\delta(t-t_0) \quad , \quad \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)\,\mathrm{d}t=f(t_0) \]
-
尺度变换：\(\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\)
- 冲激偶信号：冲激信号的导数，\(\delta'(t)=\frac{\mathrm{d}\delta(t)}{\mathrm{d}t}\)，可由脉冲宽度趋于零的正负脉冲对构成，幅值随脉宽减小而增大。
斜变、阶跃与冲激的关系
4 典型的离散信号¶
-
单位样值信号：\(\delta(n)=\begin{cases}1, & n=0\\0, & n\ne 0\end{cases}\)
- 时移性：\(\delta(n-n_0)=\begin{cases}1, & n=n_0\\0, & n\ne n_0\end{cases}\)
- 比例性：\(c\delta(n)\) 表示位于 \(n=0\)、幅值为 \(c\) 的单位样值。
- 抽样性：\(f(n)\delta(n)=f(0)\delta(n)\)，\(f(n)\delta(n-n_0)=f(n_0)\delta(n-n_0)\)
- 任意序列都可以表示为移位单位样值的加权和 \(x(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(m)\delta(n-m)\)，其中\(x(m)\) 是权值，\(\delta(n-m)\) 决定样值所在位置。
-
单位阶跃序列：\(u(n)=\begin{cases}1, & n\ge0\\0, & n<0\end{cases}\)
- 可以看作从 \(n=0\) 开始的无穷多个单位样值之和，即 \(u(n)=\sum_{k=0}^{+\infty}\delta(n-k)\)
- 与单位样值序列的关系：\(\delta(n)=u(n)-u(n-1)\)
-
矩形序列：\(R_N(n)=\begin{cases}1, & 0\le n\le N-1\\0, & n<0\text{ 或 }n\ge N\end{cases}\)
- 与单位阶跃序列的关系：\(R_N(n)=u(n)-u(n-N)\)
-
斜变序列：\(x(n)=nu(n)=\begin{cases}n, & n\ge0\\0, & n<0\end{cases}\)
-
正弦序列：\(x_a(t)=\sin(2\pi f_0t)=\sin(\Omega_0t)\)
-
设抽样间隔为 \(T_s\)，抽样频率为 \(f_s=1/T_s\)，则在 \(t=nT_s\) 处取样有：
\[ x(n)=x_a(nT_s)=\sin(\Omega_0T_s n)=\sin(\omega_0n) \] -
数字角频率 \(\omega_0=\Omega_0T_s=\frac{\Omega_0}{f_s}=2\pi\frac{f_0}{f_s}\)
-
正弦序列的周期性
若存在正整数 \(N\) 使得 \(x(n+N)=x(n)\)，则称 \(N\) 为序列的周期。
对于 \(x(n)=\sin(\omega_0n)\)，周期条件为 \(\sin[\omega_0(n+N)]=\sin(\omega_0n+N\omega_0)=\sin(\omega_0n)\)
因此必须满足 \(N\omega_0=2\pi m\)，其中 \(m\in\mathbb{Z}\)，即 \(\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{m}{N}\)
所以，离散正弦序列为周期序列的充要条件是：
若 \(\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{m}{N}\)，其中 \(m,N\) 互质，则最小正周期为：