Chapter 1 静电场¶

温馨提示

由于电势是标量，用标量积分计算电势比用矢量积分计算电场强度简便得多，所以我们往往先求出电势，然后利用求偏导数或梯度的方法求电场强度
负电荷记得带负号
\(\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C\)，\(\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln \vert x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\vert +C\)

1 基本公式¶

	公式
库仑定律	\(F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q_1 q_2}{r^2}\)
电场强度	\(E = \dfrac{F}{q_0} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q}{r^2} = -\text{grad} \, U = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial x}, \dfrac{\partial U}{\partial y}, \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)\)
高斯定理	\(\varPhi_{\text{e}} = \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \dfrac{1}{\varepsilon_{0}} \sum q_{i}\)
静电场的环路定理	\(\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0\)
电场力做功	\(A_{ab} = \int_{a}^{b} q_{0} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -(W_{b} - W_{a}) = -\Delta W = q_{0}(U_{a} - U_{b})\)
电势能	\(W_{p} = qU = \int_{p}^{\infty} q \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{d}\)
电势	\(U_{P} = \dfrac{W_{P}}{q_{0}} = \int_{P}^{P_{0}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\)，\(P_{0}\) 为电势为 \(0\) 的参考点，可以是无穷远处（\(\infty\)）
场强叠加（矢量）	\(\mathbf{E} = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{q_{i}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{i}^{2}} \mathbf{\hat{r}}_{i}\) 或 \(\mathbf{E} = \int \text{d}\mathbf{E} = \int \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\text{d}q}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}}\)
电势叠加（标量）	\(U = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{q_{i}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\) 或 \(U = \int \text{d}U = \int \dfrac{\text{d}q}{4\pi\varepsilon_0r}\)

电势能

两金属球的半径之比为 \(1:4\)，带等量的同号电荷。当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能。若将两球用长导线连接，则电势能变为原来的多少倍？

答案

设两球各带电荷\(Q\)，两球间距为\(d\)，选无穷远处为电势零点

因两球间距离远大于两球半径，故可视为点电荷，电势能 \(W_{0}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}d}\)

当两球用导线连接时，两球电势相等，由 \(\frac{Q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\) 得 \(\frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{1}{4}\)，则 \(Q_{1}=\frac{2}{5}Q\)，\(Q_{2}=\frac{8}{5}Q\)

则电势能 \(W=\frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}d}=\frac{16}{25}\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}d}=\frac{16}{25}W_{0}\)．

微元法

半径为 \(R\) 的非导体半球壳均匀带电，总电荷量为 \(q\)，求球心 \(O\) 处的电场强度。

答案

将半球壳分解为环带，则每个环带的电荷量为 \(dq = q\sin\theta d\theta\)，\(dE_z = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{q\sin\theta\cos\theta}{R^2} d\theta\)

\(\therefore E_z = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \int_{0}^{\pi/2} \sin\theta\cos\theta d\theta = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\)，则 \(\mathbf{E} = \dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0 R^2} \hat{z}\)

2 结论型公式¶

	电场强度分布
均匀带电球壳	\(E = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^2} & (r > R) \\ 0 & (r < R) \end{cases}\)
均匀带电球体	\(E = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^2} & (r > R) \\ \dfrac{qr}{4\pi\varepsilon_{0}R^3} & (r < R) \end{cases}\)
均匀带电的无限长圆柱体或圆柱面	\(E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}\)
无限大均匀带电平面	\(E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\)
两块带等量异号电荷的平行平板	\(E = \begin{cases} \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} & (\textsf{两板之间}) \\0 & (\textsf{两板外侧}) \end{cases}\)

同轴薄圆筒

一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为 \(R_1 = 2\mathrm{cm}\)、\(R_2 = 5\mathrm{cm}\)，其间充满相对介电常量为 \(\varepsilon_r\) 的各向同性均匀电介质，电容器接在电压 \(U = 32\mathrm{V}\) 的电源上。试求距离轴线 \(R = 3.5\mathrm{cm}\) 处的 \(A\) 点的电场强度和 \(A\) 点与外筒间的电势差。

答案

\(E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r}\)，由 \(U = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r} \mathrm{d}r = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \ln \frac{R_2}{R_1}\) 得 \(\lambda = \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r U}{\ln (R_2/R_1)}\)

则 \(E_A = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R} = \frac{U}{R \ln (R_2/R_1)} = 998\mathrm{V/m}\)，方向沿径向向外

\(A\) 点与外筒间的电势差 \(U = \int_{R}^{R_2} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r} \mathrm{d}r = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \ln \frac{R_2}{R} = U \frac{\ln (R_2/R)}{\ln (R_2/R_1)} = 12.5\mathrm{V}\)，方向沿着半径指向外筒

	均匀带电球壳	均匀带电圆环轴线
电势分布（可简记为 \(U=k\dfrac{q}{r}\)）	\(U(r) =\begin{cases}\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}, & r > R \\\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}, & r \leq R\end{cases}\)	\(U(x) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\sqrt{x^{2} + R^{2}}}\)