Chapter 8 光的衍射¶
前置知识
- 衍射：波传播时绕过障碍物边缘、偏离直线传播的现象，光的衍射需满足障碍物尺寸与光波长相当的条件
- 菲涅耳衍射：衍射屏离光源和接收屏为有限距离
- 夫琅禾费衍射：衍射屏离光源和接收屏无限远，入射光与衍射光均为平行光，实验中可通过两个透镜实现
- 惠更斯-菲涅尔原理：从同一波阵面上各点发出的无数子波在空间某点相遇时，可相互叠加产生干涉
1 单缝夫琅禾费衍射¶
| 公式 | |
|---|---|
| 光程差 | \(\delta = a sin \theta\) |
| 明纹 | \(\delta = a sin\theta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}\)，\(x_k = f tan \theta \approx f sin \theta = \frac{(2k + 1) f \lambda}{2a}\)，\(k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots\) |
| 暗纹 | \(\delta = a sin\theta = k\lambda\)，\(x_k = f tan \theta \approx f sin \theta = \frac{k f \lambda }{a}\)，\(k = \pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots\) |
| 中央明纹 | \(\Delta\theta_0 \approx \frac{2\lambda}{a}\)，\(\Delta l_0 \approx 2f \frac{\lambda}{a}\) |
| 其余明纹宽度 | \(\Delta l_k = x_{k+1} - x_k = f(\tan\theta_{k+1} - \tan\theta_k) \approx f(\sin\theta_{k+1} - \sin\theta_k) \approx f \frac{\lambda}{a}\) |
| 光强 | \(I = I_{0} \dfrac{sin^2 u}{u^2}\)，其中 \(u = \frac{\pi a}{\lambda} sin\theta\) |
2 光栅衍射¶
前置知识
- 衍射图样由单缝衍射与多缝干涉叠加而成，狭缝数越多，条纹越细锐明亮 。
- 瑞利判据：恰好能分辨 \(λ\) 与 \(λ+Δλ\) 的要求是 \(λ+Δλ\) 的第 \(k\) 级明纹与 \(λ\) 的 \(kN+1\) 级暗纹重合。
- 缺级：光栅衍射的主极大与单缝衍射的暗纹位置重合会使得该级主极大被单缝衍射的暗纹抵消，从而不出现。
- 次极大：两暗纹之间存在 \(1\) 条次明纹，此明纹强度为主极大明纹的 \(4\%\)；\(N-1\) 条暗纹之间有 \(N-2\) 条次明纹。
- 计算条纹个数时记得考虑缺级。
| 公式 | |
|---|---|
| 光栅常数 | \(d = a + b\)，\(a\) 为缝宽，\(b\) 为不透光部分宽度 |
| 主极大（明纹） | \(d sin\theta = k\lambda\)，\(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\)，\(k < \frac{d}{\lambda}\) |
| 暗纹 | \(d sin\theta = k' \frac{\lambda}{N}\)，\(k' \neq 0,N,2N,\cdots\)，相邻主极大间有 \(N−1\) 条暗纹 |
| 缺级 | \(k = \frac{d}{a}k'\)，\(k' = 0,1,2,\cdots\)，\(k'\) 为单缝衍射暗条纹级数 |
| 分辨本领 | \(R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = kN\) |
| 斜入射时的光栅方程 | \(\delta = d(sin\varphi + sin\theta) = k \lambda\)，\(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\) |
主极大
一衍射光栅，每厘米有 100 条透光缝，每条透光缝的宽度为 \(a = 2×10^{-3}\text{cm}\)，在光栅后放一焦距 \(f = 1\text{m}\) 的凸透镜，现以波长为 \(\lambda = 600\text{nm}\) 的单色平行光垂直照射光栅，若计算时满足 \(\sin\theta \cong \tan\theta\)，求在中央明纹宽度内，有几条光栅衍射主极大？
答案
\(d = \frac{0.01}{100} = 1×10^{-4}\text{m}\)，\(k = \frac{d}{a}k' = \frac{1×10^{-4}}{2×10^{-5}}k' = 5k'\)
衍射的中央明纹范围是由相邻的第一级暗纹界定的，故在中央明纹宽度内有 \(0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm4\) 共 \(9\) 条光栅衍射主极大
斜入射例题
以波长为 \(500 \, \text{nm}\) 的单色平行光斜向入射在光栅常量为 \(2.10 \, \text{μm}\)，缝宽为 \(0.70 \, \text{μm}\) 的光栅上，入射角 \(i = 30^{\circ}\)，具体写出能看到的光谱线的级次，并说明共有几条。
答案
缺级级数 \(k = \frac{d}{a}k' = 3k', \quad k' = 1,2,3,\cdots\)
由 \(d(\sin30^{\circ} + \sin90^{\circ}) = k_{\text{max}}\lambda\) 得 \(k_{\text{max}} = 6.3,\) 取 \(k_{\text{max}} = 6\)
由 \(d[\sin30^{\circ} + \sin(-90^{\circ})] = k_{\text{max}}'\lambda\) 得 \(k_{\text{max}}' = -2.1,\) 取 \(k'_{\text{max}} = 2\)
故屏上可能看到的光谱线级数为 \(-2,-1,0,1,2,4,5\)，共 \(7\) 条谱线
光栅衍射
设有一光栅，当白光垂直照射时，波长为 \(720 \, \text{nm}\) 的红光在衍射角为 \(30 \circ\) 的方向上存在第二级主极大，且该级能分辨 \(720 \, \text{nm}\) 红光附近的最小波长差 \(\Delta \lambda\) 为 \(0.05 \, \text{nm}\)。此外在 \(30 \circ\) 的方向上不存在可见光谱线的其它主极大。求该光栅的：(1) 光栅常数；(2) 总缝数；(3)可能及最小缝宽。
答案
(1) 由 \(d \sin\theta = k\lambda\) 得 \(d=2.88 \, \mathrm{\mu m}\)
(2) 由 \(R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = kN\) 得 \(N=7200\)
(3) 由 \(d\sin\theta = k\lambda\) 得 \(\lambda = \frac{d\sin\theta}{k} = \frac{1440\mathrm{nm}}{k}\)，只有 \(k=2\)，\(k=3\) 对应的 \(\lambda\) 落在可见光范围，故可能出现的其它主极大只有 \(k=3\)
由 \(k_2 = \frac{d}{a}k_1\) 得 \(a = \frac{k_1}{k_2}d\)，其中 \(k_2=3\)，\(d=2.8\mathrm{\mu m}\)，当 \(k_1\) 取得最小值 \(1\) 时，\(a\) 取到最小值 \(a=960\mathrm{nm}\)
3 其他¶
瑞利判据
当一个点的衍射图样的中央主极大恰好与另一个点的第一级极小相重合时，这两点就处于恰能分辨的位置。此时合成曲线的最小强度为最大强度的80%。 两物点对透镜中心的张角称为最小分辨角。
| 公式 | |
|---|---|
| 爱里斑 | 角半径 \(\theta_0 \approx 1.22\frac{\lambda}{D}\)，半径 \(R \approx 1.22f\frac{\lambda}{D}\) |
| 最小分辨角 | \(\theta_{min} = 1.22\frac{\lambda}{D}\)，分辨本领 \(= \frac{1}{\theta_{min}}\) |
| X射线衍射的布拉格公式 | 干涉加强条件：\(2d sin\theta = k\lambda\)，\(k = 1,2,3,\cdots\)，\(\theta\) 为掠射角 |
瑞利判据
答案
由 \(\frac{r}{d} = \frac{f}{l}\) 得 \(r = 2.4×10^{-5} \, \text{m}\)，则 \(D = 2r = 4.8×10^{-5} \, \text{m}\)
最小分辨角
迎面而来的汽车两车头灯间距为 \(1 \, \text{m}\)，则汽车离人距离为 \(\underline{\qquad}\) 时，恰能为人眼所分辨。（设瞳孔直径为 \(3 \, \text{mm}\)，灯光在空气中的波长为 \(500 \, \text{nm}\)）.
答案
由 \(\frac{1.22\lambda}{D}=\frac{\Delta x}{L}\) 得 \(L=4918 \, \text{m}\)
分辨本领
一块每毫米 \(500\) 条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱．钠黄光包含两条谱线，其波长分别为 \(589.6 \, \text{nm}\) 和 \(589.0 \, \text{nm}\)．
(1) 求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度；
(2) 若恰能分辩第二级光谱中的该两条谱线，求这块光栅的栅纹条数．
答案
(1) \(d = \frac{1}{500} \, \text{(mm)} = 2 \, (\mu\text{m})\)，由 \(d\sin\theta = 2 \lambda\) 得 \(\theta_1 = \sin^{-1}\frac{2\lambda_1}{d} = 36.129^\circ\)
同理得 \(\theta_2 = \sin^{-1}\frac{2\lambda_2}{d} = 36.086^\circ\)，故 \(\theta_1 - \theta_2 = 0.043^\circ\)
(2) 由 \(R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = 2N\) 得 \(N = \frac{\lambda}{k\Delta\lambda} = \frac{589.3}{2×0.6} = 491(\text{条})\)
一光栅每毫米有 \(200\) 条刻线，总宽度为 \(5.00 \, \text{cm}\)。求： (1) 在一级光谱中，钠黄光双线（波长为 \(589.0 \, \text{nm}\) 和 \(589.6 \, \text{nm}\)）的角宽是多少？每条谱线的半角宽多大？双线能否分辨？ (2) 在二级光谱中，在波长为 \(640 \, \text{nm}\) 附近能够分辨的最小波长差是多少？
答案
\(d = \frac{1×10^{-3}}{200} = 5×10^{-6}(m)\)，总条数 \(N = \frac{h}{d} = 10^4\)（条）
(1) 钠黄光双线的角宽 \(\Delta\theta = \frac{\Delta\lambda}{d} = \frac{0.6×10^{-9}}{5×10^{-6}} = 1.2×10^{-4}(rad)\)
一级光谱的衍射角 \(\theta = \arcsin\frac{\lambda}{d} = \arcsin\frac{5.89×10^{-7}}{5×10^{-6}} = 6.77°\)
每条谱线的半角宽 \(\Delta\theta_1 = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta} = 1.19×10^{-5}(rad) < \Delta\theta\)，故双线可以分辨。
(2) 由 \(R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = kN\) 得 \(\Delta\lambda = 0.032 \, \text{nm}\)