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Chapter 2 Intro to Relational Model

In the context of this book, which one of the following is a relation (multiple selection)
  1. Your pet dog and you
  2. Your bank account and you
  3. All the members in a football team
  4. All the students currently attending this class
答案

关系是元组的集合，1、2 均为两两关联，并非元组集合；3、4 为同类型对象的集合，符合关系定义。

1 基本概念

1. 1 Relation Schema and Instance

  • 关系模式（Relation Schema）：\(R=(A_1,A_2,...,A_n)\)，其中 \(A_1-A_n\)为属性（attributes），如 instructor = (ID, name, dept_name, salary)
  • 关系实例（Relation Instance）：给定属性域 \(D_1,D_2,...,D_n\)，关系 \(r\subseteq D_1×D_2×…×D_n\)（不一定有理）
  • \(r(R)\) 表示基于模式 \(R\) 的关系实例 \(r\)，表是关系实例的等价概念

1. 2 Domain of Attribute

  • 域（Domain）：某一属性的允许值集合，是属性的取值范围
  • 属性值需满足原子性（atomic），即不可再分
示例
  • 原子性示例：
    • 分别存储名和姓，如姓：“张”，名：“三”
    • 如果不经常按名或姓查询，可以将全名存储在一个属性中，如姓名：“张三”
  • 非原子性示例：
    • 一个属性存储多个电话号码
    • 一个属性存储书籍的作者/标题/出版社等所有信息
  • 特殊值 null：属于所有域，表示值未知或不存在，会导致诸多操作的定义复杂化。

1. 3 Database

  • 数据库（Database）由多个关系组成，企业信息会被拆分为多个关系存储，如 instructor、student、advisor
单表存储（如 univ (instructor_ID, name, dept_name, salary, student_Id, ...)）的后果
  • 信息冗余（如多个学生对应同一教师，教师信息重复）
  • 大量 null 值（如无导师的学生，导师字段为空）
  • 数据库模式（Database schema）：数据库的逻辑结构（所有关系模式的集合）
  • 数据库实例（Database instance）：某一特定时刻数据库中的实际数据（所有关系实例的集合）
  • 规范化理论（Normalization theory）：用于设计良好的关系模式，解决信息冗余和 null 值问题

1. 4 Keys

键（Keys）是关系模式 \(R\) 的属性子集，即 \(K\subseteq R\) 。

键的类型 定义 示例
超键
（Superkey）		 能唯一标识关系中任意元组的属性子集 instructor 的 {ID}、{ID, name}
候选键
（Candidate Key）		 最小的超键（无冗余属性） instructor 的 {ID}；grade(student_id, course_id, grade) 的 {student_id, course_id}
主键
（Primary Key）		 从多个候选键中选定一个作为元组的唯一标识 选student_id 作为 student(student_id, name, mobile_phone, email) 的主键
外键
（Foreign Key）		 关系 \(R_1\) 中的属性子集，其值必须出现在另一关系 \(R_2\) 的主键中 instructor 的 dept_name 参照 department 的 dept_name
  • 参照关系（Referencing relation）：含外键的关系
  • 被参照关系（Referenced relation）：外键指向的关系

2 Relational Algebra

关系代数（Relational Algebra）是一种过程化语言（而非传统的编程语言），输入和输出均为关系，是实现关系数据库查询的基础。

2. 1 Basic Operators

操作 定义 特性
选择（Select） \(\sigma_p(r)=\{t \, \lvert \, t\in r \, \text{and} \, p(t)\}\) —
投影（Project） \(\prod\) 删除未指定的属性，自动去重
并（Union） \(r \cup s=\{t \, \lvert \, t\in r \, \text{or} \, t\in s\}\) 要求同元数、属性域兼容，自动去重
差（Set Difference） \(r-s=\{t \, \lvert \, t\in r \, \text{and} \, t \notin s\}\) 要求同元数、属性域兼容
笛卡尔积（Cartesian Product） \(r\times s=\{t \, q \, \lvert \, t\in r \, \text{and} \, q \in s\}\) 属性名重复时需重命名
重命名（Rename） \(\rho_{x(A_1,A_2,\dots,A_n)}(E)\) 将表达式 \(E\) 的结果以名称 \(x\) 返回，同时将其属性重命名为 \(A_1, A_2, \dots, A_n\)

Join Operation

  • 等值连接：筛选笛卡尔积中指定属性值相等的元组，如 \(\sigma_{instructor.ID=teaches.ID}(instructor × teaches)\)。
    • Query 1：\(\prod_{\text{instructor.name}, \text{course-id}} \left( \sigma_{\text{dept-name} = \text{'Physics'}} \left( \sigma_{\text{instructor.ID} = \text{teaches.ID}} \left( \text{instructor} \times \text{teaches} \right) \right) \right)\)

    组合操作（找出物理系所有教师的姓名及他们所教授的所有课程的课程 ID）：

    • Query 2：\(\prod_{\text{instructor.name}, \text{course-id}} \left( \sigma_{\text{instructor.ID} = \text{teaches.ID}} \left( \sigma_{\text{dept-name} = \text{'Physics'}} \left( \text{instructor} \right) \times \text{teaches} \right) \right)\)

Query 2 先过滤再连接，减少了参与笛卡尔积的元组数量，更高效

2. 2 Additional Operations

不增加关系代数的表达能力，但可简化常见查询，均可通过基本操作实现。

操作 定义 注释
集合交
（Intersection）		 \(r\cap s=\{t \, \lvert \, t\in r \, \text{and} \, t\in s\}\) 要求同元数、属性域兼容
自然连接
（Natural Join）		 \(r \bowtie_{\theta} s = \sigma_{\theta} \left( r \times s \right)\) 满足结合律、交换律
赋值
（Assignment）		 \(\leftarrow\) 将复杂查询的临时结果赋给变量，简化多层嵌套的复杂查询结构
外连接
（Outer Join）		 \(\bowtie_{left}\)，\(\bowtie_{right}\)，\(\bowtie_{full}\) 通过 null 填充无匹配的属性值，避免信息丢失
除
（Division）		 \(\text{r} \div \text{s}\) 是满足 \(\text{t} \times \text{s} \subseteq \text{r}\) 条件的、定义在属性集 \(R-S\) 上的最大关系 \(\text{t}\) \(\prod_{ID,course\_id}(takes) \div\)
\(\prod_{course\_id}(\sigma_{dept\_name='Biology'}(course))\) 表示修读过生物学系所有课程的学生
通过基本操作实现除操作

\(temp1\leftarrow\prod_{R-S}(r)\)，\(temp2\leftarrow\prod_{R-S}((temp1×s)-\prod_{R-S,S}(r))\)，\(result\leftarrow temp1 - temp2\)

2. 3 Extended Operations

无法用基本操作表达，为关系代数增加了新的表达能力。

聚合函数（Aggregation function）

接收一组值作为输入，并返回单个值作为结果，如 avg()、min()、max()、sum()、count()。

公式 注释
广义投影
（Generalized Projection）		 \(\Pi_{F_1,F_2,\dots,F_n}(E)\) \(\textbf{·}\) \(E\) 为关系代数表达式
\(\textbf{·}\) \(F_1,F_2,\dots,F_n\) 为包含常量和属性的算术表达式
聚合操作
（Aggregate Operations）		 \(_{G_1,G_2,\dots,G_n} \ \mathcal{G} \ _{F_1(A_1),F_2(A_2),\dots,F_n(A_n)}(E)\) \(\textbf{·}\) \(E\) 为关系代数表达式
\(\textbf{·}\) \(G_i\) 为用于分组的属性列表（可为空）
\(\textbf{·}\) \(F_i\) 为聚合函数，\(A_i\) 为属性
\(\textbf{·}\)
计算各部门教师平均工资
\[ _{dept\_name} \ \mathcal{G} \ _{avg(salary) \ as \ avg\_sal}(instructor) \]

3 Null Values

  • null 表示值未知或不存在，是所有域的成员，元组的某些属性可能取空值
  • 含 null 的算术表达式结果为 null，如 \(5 + \text{null} = \text{null}\)
  • count(*) 统计所有元组（包括含 null 的元组），avg/min/max/sum/count(c) 忽略 null
  • 在去重和分组操作中，null 被视为普通值，且两个空值被认定为相等
  • 与 null 的比较结果为 \(\text{unknown}\)
引入 unknown 的三值逻辑运算规则
  • 或运算（OR）：
    • \(\text{unknown} \ \text{or} \ \text{true} = \text{true}\)
    • \(\text{unknown} \ \text{or} \ \text{false} = \text{unknown}\)
    • \(\text{unknown} \ \text{or} \ \text{unknown} = \text{unknown}\)
  • 与运算（AND）：
    • \(\text{true} \ \text{and} \ \text{unknown} = \text{unknown}\)
    • \(\text{false} \ \text{and} \ \text{unknown} = \text{false}\)
    • \(\text{unknown} \ \text{and} \ \text{unknown} = \text{unknown}\)
  • 非运算（NOT）：\(\text{not} \ \text{unknown} = \text{unknown}\)
  • SQL 规则补充：若谓词 \(P\) 的计算结果为 unknown，则判定式 \(P \ \text{is} \ \text{unknown}\) 的结果为 true
  • 若查询谓词（select predicate）的计算结果为 unknown，则该结果会被视为 false（即该元组不会被筛选出）
查找所有薪资为空的教师 
select name
from instructor
where salary is null