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Chapter 6 麦克斯韦方程与电磁波

1 麦克斯韦方程

麦克斯韦方程

  1. 电学的高斯定理——麦克斯韦第一方程：\(\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \sum q_i\)
  2. 磁学的高斯定理——麦克斯韦第二方程：\(\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0\)
  3. 法拉第电磁感应定律——麦克斯韦第三方程：\(\oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\dfrac{d\Phi_m}{dt}\)
  4. 普遍的安培环路定理——麦克斯韦第四方程：\(\oint_L \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I + \dfrac{d\Phi_d}{dt}\)
公式
位移电流 \(I_{\text{d}} = \dfrac{\text{d}\varPhi_{\text{d}}}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\int_{S} \mathbf{D} \cdot \text{d}\mathbf{S} = j_d S\)
位移电流密度 \(\mathbf{j}_{\text{d}} = \dfrac{\text{d}\mathbf{D}}{\text{d}t} = \varepsilon_0 \dfrac{d \mathbf{E}}{d t} + \dfrac{d \mathbf{P}}{d t} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{d \mathbf{E}}{d t}\)
全电流环路定律 \(\oint_{L} \mathbf{H} \cdot \text{d}\mathbf{l} = I_{\text{全}} = I + I_d\)
位移电流

如图所示为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场 \(E\)，其方向垂直于纸面向内，\(E\) 的大小随时间 \(t\) 线性增加．圆柱体内某点 \(P\) 离开轴线的距离为 \(r\)，则 \(P\) 点处位移电流密度的方向为 \(\underline{\qquad}\)；位移电流在 \(P\) 点处所激发磁场的方向为 \(\underline{\qquad}\)．

答案

垂直纸面向内；顺时针切向或竖直向下

如图所示，一正点电荷 \(q\) 以速度 \(\mathbf{v}\) 向 \(O\) 点运动（电荷到 \(O\) 点的距离用 \(x\) 表示）。若以 \(O\) 点为圆心，作一半径为 \(a\) 的圆，圆平面与 \(\mathbf{v}\) 垂直，试计算通过该圆平面的位移电流。

答案

\(q\) 在圆平面边缘处产生的磁场大小为 \(B=\frac{\mu_0 qv}{4\pi r^2}\sin\theta=\frac{\mu_0 qva}{4\pi r^3}\)，\(H = \frac{B}{\mu_0} = \frac{qva}{4\pi (x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}}\)（方向沿圆周切线）

取圆平面的圆周为积分回路，因为 \(I = 0\)，则 \(I_d = \oint_L \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = H \cdot 2\pi a = \frac{qva^2}{2(x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}}\)

如图所示，一平板电容器由两圆形极板组成，极板面积为 \(A\)，极板间距为 \(d\)，极板外部引线与一电压 \(V = V_0\sin\omega t\) 的交流电源连接，试求：
(1) 穿过电容器的位移电流密度大小；
(2) 在电容器中距轴为 \(r\) 处的磁感应强度大小。

答案

(1) \(j_D = \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = \frac{\varepsilon_0}{d} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \frac{\varepsilon_0 V_0 \omega}{d} \cos\omega t\)

(2) 由 \(\oint_L \vec{H}_r \cdot \mathrm{d}\vec{l} = H_r \cdot 2\pi r = \pi r^2 j_D\) 得 \(H_r = \frac{\varepsilon_0 V_0 \omega r}{2d} \cos\omega t\)，则 \(B_r = \mu_0 H_r = \frac{\mu_0 \varepsilon_0 V_0 \omega r}{2d} \cos\omega t\)

2 电磁波

电磁波的一般性质
  1. 电磁波发射的必备条件是频率特别高和电路开放
  2. 电磁波是横波，电磁波振动的电矢量 \(\mathbf{E}\) 和磁矢量 \(\mathbf{H}\) 都与传播方向垂直
  3. 电矢量 \(\mathbf{E}\) 和磁矢量 \(\mathbf{H}\) 相互垂直，即 \(\mathbf{E} \perp \mathbf{H}\)
  4. 任何给定点上的 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 都是同频率同相位的周期性函数
  5. 平面电磁波的电场强度一般形式为 \(\mathbf{E} = \mathbf{E_0} \cos\left[\omega\left(t - \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}{c}\right)\right]\)，其中波矢 \(\mathbf{k}\) 的方向就是波的传播方向
  6. 振荡电偶极子辐射的电磁波频率等于振荡电偶极子的振动频率，\(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 的量值和频率的平方成正比，即：
\[ \left\{ \begin{aligned} E &= \dfrac{\omega^2 p_0 \sin \theta}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r v^2 r} \cos \left[ \omega \left( t - \dfrac{r}{v} \right) \right] \\\\ H &= \dfrac{\omega^2 p_0 \sin \theta}{4\pi v r} \cos \left[ \omega \left( t - \dfrac{r}{v} \right) \right] \end{aligned} \right. \]

式中，\(p_0\) 为振荡偶极子电偶极矩振幅，\(\omega\) 为角频率，\(v\) 为电磁波的传播速度，\(r\) 为径矢的大小，\(\theta\) 为径矢 \(\mathbf{r}\) 与电偶极子轴线间的夹角。

公式
介质折射率 \(n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}\)
电磁波在介质中的传播速度 \(u = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r \mu_0 \mu_r}} = \dfrac{c}{n}\)
\(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{H}\) 的比例关系 \(\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r} E = \sqrt{\mu_0 \mu_r} H\)，\(\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r} E_0 = \sqrt{\mu_0 \mu_r} H_0\)
频率 \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\)
波长 \(\lambda = uT = \dfrac{cT}{n} = \dfrac{\lambda_0}{n}\)
电磁场的能量密度 \(u = u_e + u_m = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 \mu_r H^2\)
能流密度矢量（坡印廷矢量） \(\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}\)，沿着传播方向
平均能流密度 \(\bar{S} = \frac{1}{2}E_{0}H_{0} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2 = \frac{1}{2} \mu_0 c H_0^2 = \frac{\overline{P}}{A}\)
无阻尼自由电磁振荡 \(T = 2\pi\sqrt{LC}\)，\(\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)
偶极振子的电矩 \(\mathbf{p = p_0 \cos\omega t = ql_0 \cos\omega t}\)
振荡电偶极子的辐射强度分布 \(\mathbf{\overline{S} = \dfrac{p_0^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3} \dfrac{\omega^4 \sin^2\theta}{r^2}}\)

无阻尼自由振荡电路

  1. \(LC\) 电路中的能量集中于电容器两极板间
  2. 经 \(\frac{T}{4}\)，能量全部转换到线圈中
  3. 到 \(\frac{T}{2}\)，经反向充电，能量又集中于电容
  4. 电容器重新放电，电流反向流动，到 \(\frac{3T}{4}\)，电能又全部转换为磁能
平均能流密度

一广播电台的平均发射功率为 \(10 \, \text{kW}\)，假定向外辐射的能流均匀分布在以电台为中心的半个球面上，则在距离电台 \(10 \, \text{km}\) 处坡印亭矢量的平均值为 \(\underline{\qquad}\)．

答案

\(\overline{S}=\frac{\overline{P}}{2\pi r^{2}} = 1.59\times 10^{-5}\ (\text{J}/\text{m}^{2}\cdot\text{s})\)