Chapter 7 光的干涉¶
劳埃德镜
前置知识
- 透镜可改变光线方向，但不增加光程。
- 半波损失：光从光疏介质射向光密介质反射时，产生 \(λ/2\) 的附加光程差（相位突变 π）；光密到光疏反射或透射时无半波损失。
- 相干条件：频率相同，振动方向相同，有固定的位相差。补充条件—振幅相当
- 增透膜要求反射极小，要相消干涉
| 公式 | |
|---|---|
| 相干光波 | \(E_0 = \sqrt{E_{10}^2 + E_{20}^2 + 2E_{10}E_{20}\cos(\phi_{20} - \phi_{10})}\) \(I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\phi_{20} - \phi_{10})\) |
| 介质中的光 | \(\lambda_n = \dfrac{\lambda_0}{n}\)，\(v = \frac{c}{n}\)，\(\delta = nx\)，\(\Delta\varphi = \dfrac{2 \pi \delta}{\lambda_0}\) |
| 相长干涉 | \(\delta = k\lambda\)，\(k=1,2,\cdots\) |
| 相消干涉 | \(\delta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}\)，\(k=0,1,2,\cdots\) |
| 双缝干涉 | \(\delta = d \frac{x}{D}\)，\(\Delta x=\frac{D}{d}\lambda\) |
| 等倾干涉 | \(\delta = 2e\sqrt{n_2^2 - n_1^2 \sin^2 i} + \Delta\) 其中 \(n_2\) 是薄膜折射率，\(n_1\) 是上介质折射率，\(i\) 为入射角，\(\Delta\) 为半波损失修正项 |
| 等厚干涉 | \(\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2}\) |
| 劈尖干涉 | \(\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2}\)，条纹间距 \(l = \frac{\lambda}{2n\sin\theta} \approx \frac{\lambda}{2n\theta}\) |
| 牛顿环 | \(e = \frac{r^2}{2R}\)，\(\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2}\)，\(\frac{mR\lambda }{n}= r_{k+m,\text{暗}}^2 - r_{k,\text{暗}}^2\) \(r_{\text{暗}} = \sqrt{\frac{k\lambda R}{n}}\)，\(r_{\text{明}} = \sqrt{\frac{(k-\frac{1}{2})\lambda R}{n}}\) |
| 迈克耳逊干涉仪平移距离 | \(d = N \frac{\lambda}{2}\) |
双缝干涉
用很薄的云母片（\(n=1.58\)）覆盖在双缝实验中的一条缝上，这时屏幕上的零级明条纹移动到原来的第七级明条纹位置。如果入射光波长为 \(550.0\mathrm{nm}\)，试问此云母的厚度为多少？
答案
厚度为 \(e\)、折射率为 \(n\) 的云母片覆盖在一条缝上，引起光程差改变为 \(\delta'=(n - 1)e = 7\lambda\)
则 \(\ e = \frac{7\lambda}{n - 1} = \frac{7\times5.5\times10^{-7}}{1.58 - 1} = 6.64\times10^{-6}(\mathrm{m}) = 6.64\times10^{-3}(\mathrm{mm})\)
等厚干涉
答案
(1) 干涉条纹是明暗相间的平行直线
(2) \(n_{1}\lt n_{2}\lt n_{3}\)，肥皂水边缘为明条纹，共有 \(16\) 条明条纹
(3) \(\delta =2n_{2}e=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\)，\(k = 0,1,2\cdots\)，共有 \(15\) 条暗条纹，正中央为暗纹且\(k=7\)
则 \(e_{\text{max}}=\frac{(2k+1)\lambda}{4n_{2}}=1.69×10^{-6}(\text{m})\)
劈尖干涉
判断工件表面缺陷类型
劈尖干涉中，同一干涉条纹对应相同厚度的空气膜（等厚线），向顶角弯曲对应凹陷，反之对应凸起
如图 \(a\) 所示，一光学平板玻璃 \(A\) 与待测工件 \(B\) 之间形成空间劈尖，用波长 \(λ = 500 \, \text{nm}\) 的单色光垂直照射，看到的反射光的干涉条纹如图 \(b\) 所示。有些条纹弯曲部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分的连线相切。则工件的上表面缺陷是：不平处为 \(\underline{\qquad}\)（填凸起纹或凹槽），最大高度或深度为 \(\underline{\qquad} \, \text{nm}\) .
答案
不平处为凸起纹，劈尖相邻条纹的空气膜厚度差为 \(\frac{\lambda}{2}\)，题目中缺陷对应一个条纹间隔的厚度变化，故最大深度为 \(\frac{500\ \text{nm}}{2}=250\ \text{nm}\)
牛顿环
答案
设半径 \(r\) 处在移动前后的条纹为 \(k\) 级和 \(k'\) 级,则 \(k'−k\) 就是移过的条纹数目
移动前空气膜厚度 \(e = \frac{r^2}{2R}\)，移动后 \(e' = \frac{r^2}{2R} + d\)
由 \(\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2} = k\lambda\)，\(\delta' = 2ne' + \frac{\lambda}{2} = k'\lambda\) 得 \(\delta' - \delta = 2n(e' - e) = 2d = (k' - k)\lambda\)，则 \(k' - k = \frac{2d}{\lambda}\)