Chapter 3 电流和磁场¶
叉乘方向的判断
右手螺旋定则：右手四指从第一个矢量\(\vec{a}\)，沿小于180°角弯向第二个矢量\(\vec{b}\)，大拇指指向即为\(\vec{a} \times \vec{b}\)的方向
温馨提示
两个点电荷之间的作用力是磁力和电场力的合力
1 电流¶
1. 1 基本公式¶
前置概念
- \(\rho\) 为电阻率，单位为 \(\Omega \cdot \text{m}\)；其倒数 \(\gamma = 1/\rho\) 为电导率，单位为 \(\text{S/m}\)
- \(\mathbf{E}_{\text{K}}\) 为非静电性电场强度，是非保守力场
- 与电势差有关的是静电力做功，与电源有关的是非静电场力 \(F_{\text{K}} = q\mathbf{E}_{\text{K}}\) 做功
静电场和稳恒电场的区别
| 比较项 | 静电场 | 稳恒电场 |
|---|---|---|
| 产生原因 | 由相对于观察者静止的电荷（点电荷、带电体）激发 | 由稳恒电流（电荷定向移动但空间电荷分布不随时间变化）激发，常见于闭合电路中 |
| 导体中的电场与电流 | 静电平衡时，导体中 \(\mathbf{E}{=}0\)，导体为等势体，电流 \(I{=}0\) | 导体中 \(\mathbf{E}{\neq }0\)，有电流 \(I \ne 0\) |
| 项目 | 公式 |
|---|---|
| 电流密度 | \(j = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}} = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S\cos\theta}\)，\(\mathbf{j}= \gamma \mathbf{E} = -en\mathbf{v}_d\) 注：漂移速度 \(v_d\) 为定向运动的平均速度，\(n\) 为自由电子数密度 |
| 电流 | \(I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \int_{S} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = env_d \Delta S\) |
| 电动势 | \(\mathscr{E}_{\text{AB}} = \frac{W_{AB}}{q} = \int_{\text{A(内)}}^{\text{B}} \mathbf{E}_{\text{K}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \oint_{L} \mathbf{E}_{\text{K}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}\) |
| 电荷连续性方程 | \(\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\vec{j} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = -\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t}\)，电流稳恒条件为 \(\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\vec{j} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = 0\) |
| 路端电压 | \(U = \mathscr{E} - IR\) |
| 欧姆定律 | \(I = \frac{U}{R}\) |
| 电阻 | \(R = \rho \frac{l}{S}\) |
电流密度
有一个导体圆筒，长度为 \(20 \text{m}\)，内半径为 \(3.0 \text{mm}\)，外半径为 \(9.0 \text{mm}\)，若沿导体圆筒的径向有 \(10 \, \mu \text{A}\) 的电流流过，则通过半径为 \(6.0 \text{mm}\) 的圆柱面上的电流密度为 \(\underline{\qquad} \, \text{A/m²}\)。
答案
\(j = \frac{I}{S} = \frac{I}{2\pi r l} = 1.33 \times 10^{-5} \, (\text{A/m}^2)\)
2 磁场¶
2. 1 基本公式¶
前置概念
- \(\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~N} / \mathrm{A}^{2}\) 称为磁学常量，也常称为真空磁导率
- 磁场中的高斯定理反映了无源场的特性，电场中的高斯定理反映了有源场的特性
温馨提示
- 在均匀磁场中，通有相同恒定电流的任意形状导线，其所受安培力的大小等于该导线首尾连线为直导线时的安培力大小，方向也相同
- 闭合电流在匀强磁场中安培力的合力为0，但磁力矩由磁矩与磁场的相对方向决定，只要磁矩 \(\mathbf{p}_m\) 与磁场 \(\mathbf{B}\) 不平行就会存在磁力矩
- 若磁场与线圈平面的夹角为 \(\alpha\)，则 \(M = NISB sin(90^\circ - \alpha)\)
- 对于稳恒磁场中载流导线（含圆弧、直导线）的磁感应强度计算，要注意各部分导线在目标点产生的磁感应强度的方向叠加
| 公式 | |
|---|---|
| 磁力 | \(F_{\mathrm{m}} = k \frac{I_{1} I_{2}}{b} = \frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi b}\) 注：\(F_{\mathrm{m}}\) 指平行载流导线中的每一根在单位长度上所受到的磁力，\(b\) 为两导线间的距离 |
| 磁感应强度 | \(B = \frac{F_{\text{m, max}}}{qv}\)，电流的方向与磁感线的方向服从右手螺旋定律 |
| 运动电荷的磁场 | |
| 磁场中运动电荷受力大小 | \(\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B} = qvB\sin\theta\) |
| 运动电荷的电场 | \(E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \frac{1 - v^{2}/c^{2}}{[1 - (v^{2}/c^{2}) \sin^{2}\theta]^{3/2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}\) \(（v \ll c）\) |
| 毕奥-萨伐尔定律 | \(\mathbf{B} = \oint \mathrm{d}\mathbf{B} = \oint \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{I\mathrm{d}\mathbf{l} \times \mathbf{e}_{r}}{r^{2}}\) 注：\(\mathbf{e}_{r}\) 是源点（电流元）到场点 \(P\) 的径矢 \(\mathbf{r}\) 的单位矢量 |
| 磁通量 | \(\varPhi_{\text{m}} = \int_{S} B\cos\theta \text{d}S = \int_{S} \mathbf{B} \cdot \text{d}\mathbf{S}\) |
| 磁场的高斯定理 | \(\oint_{S} \mathbf{B} \cdot \text{d}\mathbf{S} = 0\) |
| 安培环路定理 | \(\oint_L \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \sum\limits_{(L\text{内})} I\)，电流代数符号由右手螺旋定则判定 |
| 洛伦兹力 | \(\mathbf{F}_{\text{m}} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}= qvB\sin\theta\) |
| 安培力 | \(d\mathbf{F}=Id\mathbf{l}\times \mathbf{B}\) |
| 磁矩 | \(\mathbf{p}_{\text{m}} = NIS\)，方向与电流方向成右手螺旋关系 |
| 磁力矩 | \(\mathbf{M}=\mathbf{p_m}\times\mathbf{B}=NISBsin\theta\)，适用于均匀磁场中任意形状的平面载流线圈 |
| 磁力做功 | \(A=I\Delta\Phi\) |
安培环路定理
答案
注意部分电流没有穿过闭合曲线内部，答案为 \(\mu_0(I_2 - 2I_1)\)
答案
取矩形闭合环路 \(L\)，满足：
-
一边 \(ab\)：在圆筒内部（\(r < R\)），与轴线平行，长度为\(L\)
-
两边\(bc\)、\(da\)：垂直于轴线，一端在内部、一端在外部，磁场\(\vec{B}\)与路径垂直（\(\vec{B} \cdot d\vec{l} = 0\)），无贡献
-
一边 \(cd\)：在圆筒外部（\(r > R\)），\(B_{\text{外部}} = 0\)，故\(\vec{B} \cdot d\vec{l} = 0\)，无贡献
而 \(I = \frac{dq}{dt} = \frac{\sigma \cdot 2 \pi R L}{\frac{2 \pi}{\omega}} = R \omega \sigma L\)
由安培环路定理得 \(BL = \mu_0 I\)，解得 \(B = \mu_0 R\omega\sigma\)，方向沿轴线向右。
洛伦兹力
磁场中某点处的磁感应强度为 \(\vec{B}=0.40\vec{i} - 0.20\vec{j}\) (SI)，一电子以 \(\vec{v}=0.50×10^{6}\vec{i} + 1.0×10^{6}\vec{j}\) (SI)通过该点，则作用于该电子上的磁场力 \(\vec{F}=\) ________ \(\text{N}\) .
答案
\(\vec{F} = q\vec{v}×\vec{B} = q (v_xB_y - v_yB_x) = 8.0×10^{-14}\vec{k} \text{N}\)
三维矢量叉乘
\(\vec{A}×\vec{B}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}=(A_yB_z - A_zB_y)\vec{i} - (A_xB_z - A_zB_x)\vec{j} + (A_xB_y - A_yB_x)\vec{k}\)
磁矩
答案
\(dI = \frac{\sigma 2\pi r dr}{2\pi/\omega} = \frac{q}{\pi R^2}\omega r dr\) ， \(dp_m = S dI = \frac{q\omega}{R^2} r^3 dr\) ， \(p_m = \int_0^R \frac{q\omega}{R^2} r^3 dr = \frac{q\omega R^2}{4}\)，方向沿轴向上
从经典观点来看，氢原子可看作是一个电子绕核作高速旋转的体系。已知电子和质子的电荷分别为 \(-e\) 和 \(e\)，电子质量为 \(m_e\)，氢原子的圆轨道半径为 \(r\)，电子作平面轨道运动，试求：(1) 电子轨道运动的磁矩 \(\vec{p}_m\) 的数值；(2) 它在圆心处所产生磁感强度的数值 \(B_0\)。
答案
(1) 由 \(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} = m_e \omega^2 r\) 得 \(\omega = \frac{e}{r \sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\)，\(i=\frac{e}{2\pi / \omega}=\frac{e^2}{2 \pi r\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\)，则 \(p_m = i \cdot \pi r^2 =\frac{e^2}{2}\sqrt{\frac{r}{4 \pi\varepsilon_0 m_e}}\)
(2) \(B_0=\frac{\mu_0 i}{2r}=\frac{\mu_0 e^2}{4 \pi r^2 \sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\)
磁力矩
答案
\(M = BP\sin\theta = \frac{1}{2}\mu_0 j \cdot \frac{1}{2}\pi R^2 I \cdot \sin0^\circ = 0\)
磁力做功
由细软导线做成的圆环，半径为 \(R = 0.1\ \text{m}\)，流过 \(I = 10\ \text{A}\) 的电流，将圆环放在磁感应强度 \(B = 1\ \text{T}\) 的均匀磁场中，磁场的方向与圆电流的磁矩方向一致，今有外力作用在导线环上，使其变成正方形，则在维持电流不变的情况下，外力克服磁场力所作的功是 \(\underline{\qquad} \, \text{J}\) ．
答案
由 \(2\pi R = 4a\) 得 \(a = \frac{\pi R}{2}\)
\(A_{\text{out}} = -A_B = -I\Delta\Phi_B = I(\pi R^2 - a^2)B = 6.75 \times 10^{-2}\ (\text{J})\)
2. 2 结论型公式¶
| 磁感应强度 | |
|---|---|
| 长直圆柱形载流导线 | 电流面分布：\(B = \begin{cases} 0 & (r < R) \\ \frac{\mu_{0}I}{2 \pi r} & (r > R) \end{cases}\) 电流体分布：\(B = \begin{cases} \frac{\mu_{0}Ir}{2 \pi R^2} & (r < R) \\ \frac{\mu_{0}I}{2 \pi r} & (r > R) \end{cases}\) |
| 载流螺绕环内 | \(B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}\) \(\quad\) （\(N\) 为环上线圈的总匝数） \(B = \mu_0 nI\) \(\quad\) （\(r_2 - r_1 \ll r\) 时成立，其中 \(n\) 为螺绕环单位长度上的匝数） |
| 载流长直螺线管内 | \(B = \mu_0 nI\) |
| 无限大载流导体薄板 | \(B=\frac{\mu_0}{2}j\)，\(j\) 为电流面密度，即单位长度的电流 |
无限大均匀载流平面
答案
| 类型 | 磁场 | 示意图 |
|---|---|---|
| 载流直导线 | \(B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi r_{0}}(\cos\theta_{1} - \cos\theta_{2})\) \(B = \frac{\mu_{0}I}{2\pi r_{0}}\)（无限长直导线） |
 |
| 载流圆线圈的轴线 | \(B = \frac{\mu_{0} IR^{2}}{2 r^3}\) \(B = \frac{\mu_{0}I}{2R}\) （圆线圈的圆心处） |
 |
| 载流直螺线管内部 | \(B = \frac{\mu_0}{2}nI(\cos\beta_2 - \cos\beta_1)\) \(B = \mu_0 nI\) （\(L>>R\)） \(B = \frac{1}{2} \mu_0 nI\) （长直螺线管上的两端点） |
 |
载流直导线与载流圆线圈
载流的圆形线圈（半径为 \(a_1\)）与正方形线圈（边长为 \(a_2\)）通有相同电流 \(I\)。若两个线圈的中心 \(O_1\)、\(O_2\) 处的磁感应强度大小相同，则半径 \(a_1\) 与边长 \(a_2\) 之比 \(a_1:a_2\) 为 \(\underline{\qquad}\)。
答案
由 \(\frac{\mu_0 I}{2a_1} = 4 \cdot \frac{\mu_0 I}{4\pi \frac{a_2}{2}} \cdot \sqrt{2}\) 得 \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{2}\pi}{8}\)，注意 \(r_0 = \frac{a_2}{2} \neq a_2\)
长直螺线管
真空中两只长直螺线管 1 和 2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比为 \(d_1:d_2=1:4\)。当它们通以相同电流时，两螺线管贮存的磁能之比为 \(W_{m1}:W_{m2}=\underline{\qquad}\).
答案
由 \(B = \mu_0 n I\) 得 \(B_1 = B_2\)，则 \(w_{m1} = w_{m2}\)，\(\frac{W_{m1}}{W_{m2}} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{1}{16}\)，注意螺线管直径不影响其磁场及磁场能量密度，但会影响体积进而影响磁场能量。