量子力学初步

数学基础

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x dx=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\)

	公式
德布罗意关系	\(p = \frac{h}{\lambda}\)
不确定关系	\(\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}，\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\)，\(\hbar = \frac{h}{2 \pi}\)
波函数	\(\int \lvert \Psi(x,y,z,t) \rvert ^2 dV = 1\)，\(\rho(x,y,z,t) = \lvert \Psi(x,y,z,t) \rvert^2\)

不确定度

一个受激发原子的平均寿命约为 \(10^{-8} \, \text{s}\)，在这期间它会发出一个光子。这个光子的频率的最小不确定量 \(\Delta \nu ＝ \underline{\qquad} \, \text{Hz}\)．

答案

由 \(\Delta E \cdot \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}\) 得 \(\Delta \nu = \frac{\Delta E}{h} \geqslant \frac{\hbar}{2h\Delta t} = \frac{1}{4\pi\Delta t} = 7.96 \times 10^6 \text{Hz}\)

波长 \(\lambda = 500 \, \mathrm{nm}\) 的光沿 \(x\) 轴正向传播，若光的波长的不确定量 \(\Delta \lambda = 10^{-4} \, \mathrm{nm}\)，试利用不确定关系求光子的 \(x\) 坐标的不确定量。

答案

由 \(p=\frac{h}{\lambda}\) 得 \(\Delta p=\left| -\frac{h\Delta \lambda}{\lambda^2} \right|=\frac{h\Delta \lambda}{\lambda^2}\)，又 \(\Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)，则 \(\Delta x \geq \frac{\hbar}{4\pi \Delta p}=\frac{\lambda^2}{4\pi \Delta \lambda}=0.199\mathrm{m}\)

一电子处于原子某能态的时间为 \(10^{-8}\text{s}\)，计算该能态的能量的最小不确定量；设电子从上述能态跃迁到基态所对应的光子能量为 \(3.39\ \text{eV}\)，试确定所辐射的光子的波长及此波长的最小不确定量．

答案

由 \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\) 得 \(\lambda = \frac{hc}{E} = 3.67×10^{-7}\ (\text{m})\)

\(\Delta\lambda = \frac{hc}{E^2} \Delta E \geq \frac{hc}{E^2} \cdot \frac{\hbar}{2 \Delta t} = 3.57×10^{-15}\ (\text{m})\)

1974 年，法兰克福国立实验室和斯坦福大学的两个研究小组各自独立地同时发现了一个重要的新粒子. 该粒子的质量是质子质量的 \(3\) 倍，它的静止能量为 \(3.097 \, \text{MeV}\)，测量的不准确度仅为 \(0.063 \, \text{MeV}\).这样的重粒子会极快地衰变成轻粒子，则该粒子的平均寿命为 \(\underline{\qquad} \, \text{s}\).

答案

由 \(\Delta E\Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\) 得 \(\Delta t \geq \frac{h}{4\pi\Delta E}=5.2\times 10^{-21}(\text{s})\)

粒子分布的波函数与概率密度函数

设某一维运动的粒子处在以下状态：\(\Psi(x)=\begin{cases} Axe^{-\lambda x}, & (x\geq 0) \\ 0\ \ \ \ , & (x< 0) \end{cases}\)，式中 \(\lambda>0\)，试求： (1) 归一化常量 \(A\)； (2) 粒子分布的概率密度函数； (3) 何处最容易发现此粒子？

答案

(1) 由 \(1=\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x)|^2dx = \int_{0}^{\infty} A^2 x^2 e^{-2\lambda x}dx = \frac{A^2}{4\lambda^3}\) 得 \(A=2\lambda^{\frac{3}{2}}\)

(2) \(\rho(x)=|\Psi(x)|^2=\begin{cases} 4\lambda^3 x^2 e^{-2\lambda x}, & (x\geq 0) \\ \ \ \ 0 \ \ \ , & (x< 0) \end{cases};\)

(3) 由 \(\frac{d\rho}{dx}=4\lambda^3 (2x e^{-2\lambda x}-2\lambda x^2 e^{-2\lambda x})=0\) 得 \(x=\frac{1}{\lambda}\) 处最容易发现此粒子。

氢原子相关量	公式
能级	\(E_n = -\frac{1}{n^2}\left( \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2 \hbar^2} \right) = \frac{-13.6 \, \text{eV}}{n^2}\)，其中 \(n\) 为主量子数，\(n=1,2,3,\cdots\)
角动量	\(L = \sqrt{l(l+1)}\hbar\)，其中 \(l\) 为角量子数（副量子数），\(l=1,2,\cdots,n-1\)
角动量分量	\(L_z = m_l \hbar\)，其中 \(m_l\) 为磁量子数，\(m_l=0,\pm1,\pm2,\cdots,\pm l\)
自旋角动量	\(S = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\)
自旋角动量 Z 轴分量	\(S_z = \pm \frac{1}{2}\hbar\)
自旋磁矩	\(\vec{\mu}_s=-\frac{e}{m}\vec{S}\)
氢原子能级简并度	\(2n^2\)

角动量

根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外磁场方向上的投影为 \(L_z = \underline{\qquad}\)，当角量子数 \(l = 2\) 时，\(L_z\) 的可能取值为 \(\underline{\qquad}\)。

答案

\(L_z = m_l \hbar\)，当 \(l = 2\)时，\(m_l = 0, \pm1, \pm2\)，\(\therefore L_z = 0, \pm \hbar, \pm 2\hbar\)