Chapter 10 光的量子论¶
基本概念
- 热辐射：物体内带电粒子热运动产生的、与温度相关的电磁波辐射（强度、波长随温度变化）
- 平衡热辐射：物体辐射能量 \(=\) 吸收能量，达到热平衡，用温度 \(T\) 描述
康普顿效应
- 散射光中除原波长 \(\lambda_0\) 外，还有 \(\lambda>\lambda_0\) 的射线
- 波长偏移 \(\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0\) 随散射角 \(\phi\) 增大而增大，与散射物质无关
- 原波长谱线强度随原子序数增大而增大，新波长强度减小
| 公式 | |
|---|---|
| 单色辐射出射度 | \(\mathrm{d}E(\lambda,T)=M(\lambda,T)\mathrm{d}\lambda\) |
| 总辐出度 | \(M(T)=\int M(\lambda,T)\mathrm{d}\lambda\) |
| 单色吸收系数 | \(\alpha(\lambda,T) = \frac{\mathrm{d}E_{\lambda,T}^{\text{abs}}}{\mathrm{d}E_{\lambda,T}^{\text{inc}}}\) |
| 单色反射系数 | \(\rho(\lambda,T) = \frac{\mathrm{d}E_{\lambda,T}^{\text{ref}}}{\mathrm{d}E_{\lambda,T}^{\text{inc}}}\) |
| 不透明物体 | \(\alpha(\lambda,T) + \rho(\lambda,T) = 1\) |
| 基尔霍夫定律 | \(\frac{M_1(\lambda,T)}{a_1(\lambda,T)} = \frac{M_2(\lambda,T)}{a_2(\lambda,T)} = ... = \frac{M_B(\lambda,T)}{a_B(\lambda,T)}\) |
| 绝对黑体 | \(a_B(\lambda,T) = 1\)，\(\frac{M(\lambda,T)}{a(\lambda,T)} = M_B(\lambda,T)\) |
| 斯忒藩-玻尔兹曼定律 | \(M_B(T) = \sigma T^4\) |
| 维恩位移定律 | 峰值波长 \(\lambda_m=\frac{b}{T}\) |
| 普朗克公式 | \(M_B(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)}-1}\) |
| 光子 | \(E=h\nu = h \frac{c}{\lambda} = pc\)，\(p = \frac{h \nu}{c}= \frac{h}{\lambda}\) |
| 质能方程 | \(E =mc^2\) |
| 反向遏止电压 | \(e U_a = E_{k,max}\) |
| 金属逸出功 | \(W_0 = h \nu_0 = h \frac{c}{\lambda_0}\)，其中 \(\nu_0\) 是红限频率，\(\lambda_0\) 是红限波长 |
| 光电效应方程 | \(h\nu = E_{k,max} + W_0\) |
| 康普顿散射公式 | \(\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{h}{m_0c}(1 - \cos\varphi) = \frac{2h}{m_0c}\sin^2\frac{\varphi}{2}\) |
| 电子的康普顿波长 | \(\lambda_c = \frac{h}{m_0c}\) |
光电效应实验规律解释
- 光强 \(∝\) 光子数 \(\Rightarrow\) 饱和电流 \(∝\) 光子数 \(\Rightarrow\) 光电子数 \(∝\) 光强
- \(\nu\) 越高，光子能量越大，光电子初动能越大（与 \(U_a\) 线性相关）
- \(\nu<\nu_0 = \frac{A}{h}\) 时，光子能量不足克服逸出功，无光电效应
- 光子能量一次性被电子吸收，无需积累时间
光电效应
分别以频率为 \(\nu_1\) 和 \(\nu_2\) 的单色光照射某一光电管．若 \(\nu_1>\nu_2\)(均大于红限频率 \(\nu_0\))，则当两种频率的入射光的光强相同时，所产生的光电子的最大初动能 \(E_1 \, \underline{\qquad} \, E_2\)；所产生的饱和光电流 \(I_{\text{s1}} \, \underline{\qquad} \, I_{\text{s2}}\)．（用“ \(>\) ”、“ \(=\) ”或“ \(<\) ”填入）
答案
\(E_{\text{k}} = h\nu - W_0\)，由 \(\nu_1 > \nu_2\) 得 \(E_1 > E_2\)
光强 \(I = n h\nu\)，其中 \(n\) 为单位时间内的光子数），由 \(\nu_1 > \nu_2\) 得 \(n_1 < n_2\)，饱和光电流与单位时间内逸出的光电子数成正比，故 \(I_{\text{s1}} < I_{\text{s2}}\)子）
已知一单色光照射在钠表面上,测得光电子的最大初动能是 \(1.2 \, \text{eV}\),而纳的红限波长是 \(540 \, \text{nm}\)，求入射光的波长。
答案
由 \(h\frac{c}{\lambda } = E_{\text{max}} + W_0 = E_{\text{max}}+h\frac{c}{\lambda _0}\) 得 \(\lambda = 355\ \text{nm}\)
康普顿散射
在康普顿散射中，散射光频率（与入射光的频率比较）减少得最多时，其散射角 \(\varphi\) 等于 \(\underline{\qquad}\)。
答案
\(\pi\)（注意 \(cos \varPhi\) 的最小值是 \(-1\) 不是 \(0\)）
假定在康普顿散射实验中，入射光的波长 \(\lambda_0=0.0030\mathrm{nm}\)，反冲电子的速度 \(v=0.6c\)（\(c\) 是光速）。求: (1) 反冲电子的质量和动量；(2) 散射光的波长。
答案
(1) \(m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=1.14\times10^{-30} \, \mathrm{kg}\)，\(p=mv=2.05\times10^{-22} \, \mathrm{kg\cdot m/s}\)
(2) 由 \(h\frac{c}{\lambda_0}+m_0c^2=h\frac{c}{\lambda}+mc^2\) 得 \(\lambda=0.0044 \, \mathrm{nm}\)
在康普顿散射中，入射光子的波长为 \(0.003 \text{nm}\)，反冲电子的速率为光速的 \(60 \%\)，求散射光子的波长及散射角。
答案
\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{(0.6c)^2}{c^2}}} = 1.25 m_{0}\)，由 \(h\frac{c}{\lambda_0}+m_0c^2=h\frac{c}{\lambda}+mc^2\) 得 \(\lambda = 4.3 \times 10^{-3} \, \text{nm}\)
由 \(\Delta \lambda =\lambda -\lambda _{0}=\frac {h}{m_{0}c}(1-\cos\varphi)\) 得 \(\cos\varphi = 0.4482\)，则 \(\varphi =62.37^{\circ}\)
在康普顿散射中，如果设反冲电子的速度为光速的60%，则因散射使电子获得的能量是其静止能量的 \(\underline{\qquad}\) 倍。
答案
\(m=\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}=\frac {m_{0}}{\sqrt {1-0.6^{2}}}=\frac {5}{4}m_{0}\)，\(\frac {E_{k}}{E_{0}}=\frac {mc^{2}-m_{0}c^{2}}{m_{0}c^{2}}=\frac {1}{4}\)
光子能量为 \(0.5 \, \text{MeV}\) 的 X 射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射。若反冲电子获得的能量为 \(0.1 \, \text{MeV}\)，则散射光波长的改变量 \(\Delta\lambda\) 与入射光波长 \(\lambda_0\)之比值为 \(\underline{\qquad}\).
答案
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\lambda}{\lambda_0} - 1 = \frac{\frac{hc}{E_0 - E_k}}{\frac{hc}{E_0}} - 1 = \frac{E_0}{E_0 - E_k} -1 = \frac{E_k}{E_0 - E_k} = 0.25\)
设康普顿效应中入射 X 射线（伦琴射线）的波长 \(\lambda = 0.0700\ \text{nm}\)，散射的 X 射线与入射的 X 射线垂直，试求：
(1) 反冲电子的动能 \(E_k\)； (2) 反冲电子运动的方向与入射的X射线之间的夹角\(\theta\).（计算结果、中间结果均取3位有效数字）
答案
(1) \(\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\frac{\pi}{2}) = 0.0024\ \text{nm}\)，\(\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.0724\ \text{nm}\)，\(E_k = h \frac{c}{\lambda} - h \frac{c}{\lambda'} = 9.42×10^{-17}\ \text{J}\)
(2) \(mv = \sqrt{p^2 + p'^2} = \sqrt{(\frac{h}{\lambda})^2 + (\frac{h}{\lambda'})^2}\)，\(\cos\theta = \frac{p}{mv} = \frac{h/\lambda}{\sqrt{(h/\lambda)^2 + (h/\lambda')^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\lambda/\lambda')^2}}\)，解得 \(\theta = 44.0°\)
求普朗克能量子数目
一个质量为 \(1 \, \text{g}\)、弹性系数为 \(1 \, \text{N/mm}\) 的小谐振子作简谐振动，其振幅为 \(1 \, \text{mm}\)，这个系统有多少个普朗克能量子？
答案
\(E = \frac{1}{2}kA^2 = 5 \times 10^{-4} \, \text{J}\)，\(\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = 159.15 \, \text{Hz}\)
\(\varepsilon = h\nu = 1.054 \times 10^{-31} \, \text{J}\)，\(n = \frac{E}{\varepsilon} = 4.74 \times 10^{27}\)
求辐射出射度
若黑体在加热过程中，其最大单色辐出度的波长由 \(0.69 \, \text{μm}\) 变化到 0\(.50 \, \text{μm}\)，求辐射出射度增加了几倍？
答案
\(\frac{M_{B2}}{M_{B1}} = \frac{T_{2}^{4}}{T_{1}^{4}} = (\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}})^4 = 3.63\)，故总辐出度增加了 \(2.63\) 倍
辐射功率
人体的体温是 \(37 \, \text{℃}\)，人的热辐射单出辐射度峰值波长是多少？成年人平均体表面积是 \(1.6 \text{m²}\)。请估算人每秒通过皮肤散发的热量。
答案
热力学温度为 \(T = t + 273.15 = 37 + 273.15 = 310.15 \, \text{K}\)，\(\lambda_m = \frac{b}{T} = 9.35 \times 10^{-6} \, \text{m} = 9.35 \, \mu\text{m}\)
人体可近似为黑体，每秒散发的热量（辐射功率）为 \(P = M \cdot S = \sigma T^4 \cdot S = 839.5 \, \text{W}\)