11 氢原子的玻尔模型

温馨提示

玻尔理论中角动量最小值为 \(\frac{h}{2\pi}\)，量子力学中最小值为 \(0\)，实验验证量子力学正确

	公式
里德伯公式	\(\frac{1}{\lambda} = T(k)-T(n) = R_{\text{H}} \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2} \right)\)
角动量	\(L_n = mvr = n \hbar\)
轨道半径	\(r_n = n^2 \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} = n^2 r_1\)
轨道速度	\(v_n = \frac{1}{n} \frac{e^2}{2\varepsilon_0 h}\)
能级	\(E_n = -\frac{1}{n^2} \left( \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2} \right) = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2}\)
能级简并度	\(\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2\)
巴尔末系	\(k=2\)，\(n=3 ~ 10\)，对应可见光

氢原子的激发过程

氢原子的能量是量子化的，其能级公式为 \(E_n = \frac{E_1}{n^2}\)，其状态变化（激发/退激）通过吸收或发射光子实现：

• 氢原子从低能级 \(n\) 跃迁到高能级 \(m\)（\(m>n\)），需要吸收一个光子，且光子能量必须等于两个能级的能量差，即 \(E_{\text{光子}} = E_m - E_n\)
• 氢原子从高能级 \(m\) 跃迁回低能级 \(n\)（\(m>n\)），会发射一个光子，光子能量同样等于能级差，即 \(E_{\text{光子}} = E_m - E_n\)
• 当光子能量大于等于基态电离能（13.6 \(\text{eV}\)）时，氢原子会被电离（电子脱离原子），光电子动能 \(=\) 入射光子能量 \(-\) 基态电离能

基态氢原子的激发

已知基态氢原子的能量为 \(-13.6 \, \text{eV}\)，当基态氢原子被 \(12.09 \, \text{eV}\) 的光子激发后，其电子轨道半径将增加到玻尔半径的 \(\underline{\qquad}\) 倍.

答案

由 \(hν=E_{n}-E_{1}=\frac{-13.6}{n^{2}}-(-13.6)=12.09\) 得 \(n=3\)，则 \(r_{n}=n^{2}r_{1}=9r_{1}\)

当氢原子从某初始状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为 \(\Delta E = 10.19 \, \text{eV}\) 的状态时，发射出光子的波长是 \(\lambda = 486\text{nm}\)，求该初始状态的能量 \(E_{n}\) 和主量子数 \(n\)。

答案

\(E_{n}=E_{1}+\Delta E + \frac{hc}{\lambda}=-0.85\text{eV}\)，由 \(E_{n}=\frac{E_{1}}{n^{2}}\) 得 \(n=\sqrt{\frac{E_{1}}{E_{n}}}=4\)

已知用光照的办法将氢原子基态的电子电离，可用的最短波长的光是 \(91.3 \, \text{nm}\) 的紫外光，那么氢原子从 \(E_n\) 激发态跃迁到基态的赖曼系光谱的波长可表示为 \(\underline{\qquad} \, \text{nm}\)．

答案

由 \(\frac{1}{\lambda_{min}} = R\)，\(\frac{1}{\lambda} = R(1 - \frac{1}{n^2})\) 得 \(\lambda = \frac{\lambda_{min}}{(1 - \frac{1}{n^2})} = 91.3 \frac{n^2}{n^2 - 1} \, \text{(nm)}\)

用波长 \(\lambda=102.3 \, \text{nm}\)的单色光激发（基态）氢原子使其发光，求氢原子所发光的波长。

答案

\(E = h\nu = h\frac{c}{\lambda}=12.15 \, (\text{eV})\)，由 \(-13.6\left(\frac{1}{n^2}-1\right)=12.15\) 得 \(n^2=9.38\)，则 \(n=3\)

氢原子再从 \(n=3\) 激发态向下跃迁：

\(3→1\) \(\quad\) \(\frac{1}{\lambda_{31}}=1.097×10^7\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}\right)\)，\(\lambda_{31}=102.6\ \text{nm}\)

\(3→2\) \(\quad\) \(\frac{1}{\lambda_{32}}=1.097×10^7\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)\)，\(\lambda_{32}=656.3\ \text{nm}\)

\(2→1\) \(\quad\) \(\frac{1}{\lambda_{21}}=1.097×10^7\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)\)，\(\lambda_{21}=121.5\ \text{nm}\)

氢光谱中，莱曼系的最短波长为 \(\lambda_{\text{min}}= \underline{\qquad} \text{nm}\)，莱曼系的最长波长 \(\lambda_{\text{max}}= \underline{\qquad} \text{nm}.\)

答案

\(\dfrac{1}{\lambda_{\text{min}}}=R_{H}\left(\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{\infty^{2}}\right)\)，\(\lambda_{\text{min}}=91.2\ \text{nm}\)

\(\dfrac{1}{\lambda_{\text{max}}}=R_{H}\left(\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\)，\(\lambda_{\text{max}}=121.5\ \text{nm}\)

能量为 \(15 \, \text{eV}\) 的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求：(1) 此光电子的动能；(2) 此光电子的德布罗意波长.

答案

(1) 基态氢原子的电离能 \(ΔE=E_∞-E_1 = 13.6\ \text{eV}\)，远离核的光电子动能 \(E_K = E - ΔE = 1.4\ \text{eV}\)

(2) \(λ=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2 m_e E_k}} = 1.04×10^{-9}\ \text{m}\)

氢原子的相关量

根据玻尔的氢原子理论，分别计算氢原子处于基态时电子的角动量、线动量（即 \(p=mv\) ）、角速度、绕核转动的频率和加速度。

答案

角动量 \(L=n\hbar=\hbar\)

由 \(L=mvr_{1}=\hbar\) 得线动量 \(p=mv=\frac{\hbar}{r_{1}}=\frac{\hbar}{a_{0}}\)

线速度 \(v = \frac{p}{m} = \frac{\hbar}{ma_{0}}\)，则 \(\omega = \frac{v}{a_0} = \frac{\hbar}{ma_{0}^{2}} = 4.14×10^{16}(\text{rad}·\text{s}^{-1})\)

由 \(\omega=2\pi\nu\) 得绕核转动频率 \(\nu = \frac{\omega}{2\pi} = 6.59×10^{15}(\text{Hz})\)

由 \(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{a_{0}^{2}} = ma\) 得加速度 \(a = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{ma_{0}^{2}} = 9.05×10^{22}(\text{m}·\text{s}^{-2})\)

已知第一玻尔轨道半径 \(a\)，试计算当氢原子中电子沿第 \(n\) 玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是 \(\underline{\qquad}\).

答案

由\(L = mvr_n = mv \cdot n^2 a= n\hbar = \frac{nh}{2\pi}\) 得 \(\lambda = \frac{h}{mv} = 2\pi na\)