Chapter 9 光的偏振¶
光的五种偏振态
| 偏振形态 | 核心特性 | 图示 |
|---|---|---|
| 自然光 | 1. 光源中大量原子/分子间断、独立发光 2. 各方向振动无固定相位 3. 任意正交方向平均振幅相同 |
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| 线偏振光 | 1. 振动方向固定 2. 传播方向与振动方向垂直 |
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| 部分偏振光 | 1. 介于自然光和线偏振光之间 2. 垂直传播面内各方向振动振幅不同、某方向占优势 3. 无严格相位关联 |
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| 椭圆偏振光 | 由两个垂直、同频率、相位差恒定的线偏振光合成 |  |
| 圆偏振光 | 1. 椭圆偏振光的特例 2. 由两个垂直、同频率、相位差恒定且振幅相等的线偏振光合成 |
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起偏和检偏
- 偏振化方向：偏振片中允许光通过的特定方向
- 起偏：自然光通过偏振片后变为线偏振光，透射光强 \(I = \frac{I_0}{2}\)
- 检偏：用偏振片检测光线是否为偏振光，当偏振片偏振化方向与偏振光振动方向垂直时，光无法通过（消光）
晶体关键概念
- 光轴：晶体内光沿该方向传播时不发生双折射的一个特殊方向
- 单轴晶体：仅有一个光轴（如方解石、石英）
- 双轴晶体：有两个光轴
- 主平面：光线与光轴组成的平面
- 光轴在入射面内时，o 光和 e 光的主平面重合
- 晶体分类
- 正晶体（如石英）：\(v_e < v_o\)，\(n_e > n_o\)
- 负晶体（如方解石）：\(v_e > v_o\)，\(n_e < n_o\)
双折射现象
光进入方解石等晶体后，会分裂为两束沿不同方向折射的光线：
- 寻常光（o光）
- 遵守折射定律，传播速度各向同性
- 偏振方向垂直于主平面
- 波阵面为球面（速度 \(v_o\) 各向相同），主折射率 \(n_o = \frac{c}{v_o}\)
- 异常光（e光）
- 不遵守折射定律，传播速度各向异性
- 偏振方向平行于主平面
- 波阵面为椭球面（速度 \(v_e\) 各向不同），主折射率 \(n_e = \frac{c}{v_e}\)
| 公式 | |
|---|---|
| 马吕斯定律 | \(I = I_0 \cos^2 \alpha\) |
| 布儒斯特定律 | \(\tan i_0 = \frac{n_2}{n_1}\) |
| o 光的折射定律 | \(n_1 \sin i = n_o \sin r_o\) |
| e 光的折射定律 | \(n_1 \sin i = n_e(\theta) \sin r_e\)，\(n_e(\theta) = \frac{n_o n_e}{\sqrt{n_o^2 \sin^2 \theta + n_e^2 \cos^2 \theta}}\) 当 e 光传播方向垂直于光轴时，\(n_e(\theta) = n_e\) |
| 四分之一波片 | \(\delta = \vert n_o - n_e \vert d = \frac{\lambda}{4}\) |
| 二分之一波片 | \(\delta = \vert n_o - n_e \vert d = \frac{\lambda}{2}\)，线偏振光通过后仍为线偏振光，但其振动面转过 \(2θ\) 角 |
| 椭圆偏振光 | \(A_o = A \sin\alpha\)，\(A_e = A \cos\alpha\) |
| 圆偏振光 | \(\Delta\varphi = \frac{\pi}{2}\) 或 \(\frac{3\pi}{2}\)，且 \(A_o = A_e\)，即线偏振光经四分之一波片（\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)）透射 |
| 相干合振幅 | \(A_{合}=\sqrt{A_{e2}^{2}+A_{o2}^{2}+2A_{e2}A_{o2}\cos\Delta\varphi}\) |
| 偏振化方向正交 | \(A_{e2} = A_{o2} = A \cos\alpha \sin\alpha\)，\(A_{合}=\frac{\sqrt{2}}{2}A\sin2\alpha\) \(\Delta\varphi_\perp = \frac{2\pi}{\lambda} \vert n_o - n_e \vert d + \pi\) |
| 偏振化方向平行 | \(A_{e2} = A \cos^2\alpha\)，\(A_{o2} = A \sin^2\alpha\)，\(\Delta\varphi_{//} = \frac{2\pi}{\lambda} \vert n_o - n_e \vert d\) |
| 旋光角度 | \(\varphi = \alpha d\) |
布儒斯特定律
布儒斯特角
- 自然光以布儒斯特角入射时，垂直于入射面的振动分量在每个界面上均要发生反射，而平行于入射面的振动分量则完全不能反射
- 布儒斯特角是自然光入射两介质分界面时使反射光为线偏振光的入射角，满足 \(\tan i_0 = \frac{n_2}{n_1}\)，且此时反射光与折射光垂直、折射光为部分偏振光
水的折射率为 \(1.33\)，玻璃的折射率为 \(1.50\)．当光由水中射向玻璃而反射时，起偏角为 \(\underline{\qquad}\)．当光由玻璃射向水中而反射时，起偏角又为 \(\underline{\qquad}\)．
答案
\(\tan i_{0}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{1.5}{1.33}\)，得 \(i_{0}=48^{\circ}26'\)；\(\tan i_{0}'=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{1.33}{1.5}\)，得 \(i_{0}'=41^{\circ}34'\)
在下列两幅图中，光线以布儒斯特角 \(i_0\) 入射到两种媒质的分界面上，若存在反射或折射光线，画出反射和折射光线的偏振状态.
答案
答案
线偏振
假设某一介质对于空气的全反射临界角是45°，则光从空气射向介质时的布儒斯特角是 \(\underline{\qquad}\) .
答案
\(n=\frac {1}{\sin45^{\circ}}=\sqrt {2},\ i_{0}=\arctan n=\arctan\sqrt {2}=54.7^{\circ}\)
波长为 \(λ\) 的单色线偏振光正入射一块 \(1/2\) 波片，出射光时 \(o\) 光与 \(e\) 光的相位差为 \(\underline{\qquad}\)，相应的偏振态为 \(\underline{\qquad}\) ．
答案
\(1/2\) 波片能使 \(o\) 光和 \(e\) 光的光程差 \(\delta = \frac{\lambda}{2}\)，则相位差 \(\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi\)
入射光为线偏振光，正入射 \(1/2\) 波片时，\(o\) 光与 \(e\) 光的相位差为 \(\pi\)，此时出射光的振动方向会相对入射光的振动方向转过 \(2\theta\)（\(\theta\) 是入射光振动方向与波片光轴的夹角），但偏振态仍为线偏振光。
偏振片
一束光是自然光和线偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片．若以此入射光束为轴旋转偏振片，测得透射光强度最大值是最小值的 \(5\) 倍，那么入射光束中自然光与线偏振光的光强比值为 \(\underline{\qquad}\) ．
答案
由 \(\frac{I_{自}/2 + I_{偏}}{I_{自}/2} = 5\) 得 \(\frac{I_{自}}{I_{偏}} = \frac{1}{2}\)（注意最小值不是 \(I_{自}/2 - I_{偏}\)）
两个偏振片 \(P_{1}\)、\(P_{2}\) 叠在一起，由强度相同的自然光和线偏振光混合而成的光束垂直入射到偏振片上．已知穿过 \(P_{1}\) 后的透射光强为入射光强的一半，连续穿过 \(P_{1}\)、\(P_{2}\) 后透射光强为入射光强的四分之一．求：(1) 入射光中线偏振光的光矢量振动方向与 \(P_{1}\) 的偏振化方向夹角 \(\alpha\)；(2) \(P_{1}\)、\(P_{2}\) 的偏振化方向之间的夹角 \(\beta\)．
答案
(1) 设 \(I_{自}=I_{偏}=\frac {1}{2}I_{0}\)，由 \(\frac {1}{2}I_{0}=\frac {1}{2}I_{自}+I_{偏}\cos^{2}\alpha\) 得 \(\alpha=45^{\circ}\) 或 \(135^{\circ}\)（注意两个角都可以）
(2) 由 \(\frac {1}{4}I_{0}=\frac {1}{2}I_{0}\cos^{2}\beta\) 得 \(\beta=45^{\circ}\) 或 \(135^{\circ}\)（注意两个角都可以）
偏振化方向正交
厚为 \(0.025 \, \text{mm}\) 的方解石晶片的表面平行于光轴。将其放在两个正交的偏振片之间，光轴与两个偏振片的偏振化方向各成 \(45°\) 角。如果射入第一个偏振片的光是波长为 \(400.0～760.0 \, \text{nm}\) 的可见光，问透出第二个偏振片的光中少了哪些波长的光？
答案
\(\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{o}-n_{e})d+\pi\)，当 \(\Delta\varphi=(2k+1)\pi\) 时，相应的波长就从透射光中消失，故有
- 当 \(k\leq5\) 时，\(\lambda\geq860\text{nm}\)，均在可见光之外
- 当 \(k=6\) 时，\(\lambda=716.7\text{nm}\)
- 当 \(k=7\) 时，\(\lambda=614.3\text{nm}\)
- 当 \(k=8\) 时，\(\lambda=537.5\text{nm}\)
- 当 \(k=9\) 时，\(\lambda=477.8\text{nm}\)
- 当 \(k=10\) 时，\(\lambda=430\text{nm}\)
- 当 \(k\geq11\) 时，\(\lambda\leq391.9\text{nm}\)
故在透出第二偏振片的光缺少的波长为 \(\lambda=430\text{nm}，477.8\text{nm}，537.5\text{nm}，614.3\text{nm}，716.7\text{nm}\)