Chapter 2 静电场中的导体和电介质
温馨提示
- 存在电介质时，要使用电介质中的高斯定理，即先求 \(D\) 再求 \(E\)
- 对于击穿问题，应先利用函数找到系统内场强能够达到的最大值及其位置，再进一步求解
- 针对仅外表面带电的导体系统（如导体球壳、导体块），通过设外表面感应电荷面密度为未知数，利用 “导体内部电势为零” 的静电平衡条件，建立方程求解该面密度
- 解题时注意区分相对介电常数和介电常数
- 对于电容器的击穿问题，空气层被击穿后，全部电压加在玻璃层上，玻璃层电场强度也会发生变化
- 在介质表面束缚电荷面密度的计算中，通常需分别求解内表面与外表面的面密度，其符号一般与介质附近原有自由电荷的符号相反
1 电容
1. 1 基本公式
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公式 |
| 电容 |
\(C = \dfrac{Q}{U_{\text{A}} - U_{\text{B}}}\) |
| 电容的串联 |
\(\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots + \dfrac{1}{C_n}\) |
| 电容的并联 |
\(C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n\) |
| 带电电容器的能量 |
\(W = \dfrac{Q^{2}}{2C} = \dfrac{1}{2}C\Delta U^{2} = \dfrac{1}{2}Q\Delta U\) |
极板间相互作用力
一空气平行板电容器，电容为 \(C\)，两极板间距离为 \(d\)，充电后两极板间相互作用力为 \(F\)，则两极板间的电势差为 \(\underline{\qquad}\)，极板上的电荷为 \(\underline{\qquad}\).
答案
由 \(F = Q \cdot \frac {σ}{2ε_{0}}=\frac {Q^{2}}{2ε_{0}S}\) 得 \(Q=\sqrt {2ε_{0}SF}\)，结合 \(C=\frac {ε_{0}S}{d}\) 得 \(Q=\sqrt {2FdC}\)，\(U=\frac {Q}{C}=\sqrt {\frac {2Fd}{C}}\)
1. 2 结论型公式
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平行板电容器 |
同心球形电容器 |
同轴圆柱形电容器 |
| 电场强度 |
\(E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}\) |
\(E = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2}\) |
\(E = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r}\) |
| 电容 |
\(C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d}\) |
\(C_0 = 4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{R_2 R_1}{R_2 - R_1}\)
注：\(R_2 \gg R_1\)时，\(C \to 4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r R_1\) |
\(C_0 = \dfrac{2\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r l}{\ln(R_B/R_A)}\) |
电容计算
设有半径都是 \(r\) 的两条平行无限长输电线 \(A\) 和 \(B\) ，两轴间相距为 \(d\) ，且满足 \(d\gg r\) ，则两输电线单位长度的电容为\(\underline{\qquad}\)．
答案
\(E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 x} + \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 (d - x)}\) ， \(U = \int_{r}^{d - r} \left( \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 x} + \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 (d - x)} \right) dx = \frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0} \ln\frac{d - r}{r}\)，\(C = \frac{\lambda \cdot 1}{U} = \frac{\pi\varepsilon_0}{\ln[(d - r)/r]}\)
1. 3 电容器的常见操作
| 操作 |
断开电源 |
不断开电源 |
| 含义 |
电荷量不变 |
电势差不变 |
| 断开电源时的操作 |
含义 |
示意图 |
| 充满电介质 |
\(C=\varepsilon_r C_0\)，\(E=\dfrac{E_0}{\varepsilon_r}\) |
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| 横向插入电介质 |
电容串联
所有电容器的带电量大小完全相等
\(U=E_1d_1+E_2d_2\) |
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| 纵向插入电介质 |
电容并联 |
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| 插入一定厚度的金属板 |
平行板等效距离由 \(d\) 减小为 \(d-t\) |
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2 电介质相关
前置概念
- \(\chi_{\text{e}}\) 是电介质的极化率，与电场强度 \(\mathbf{E}\) 无关，仅与电介质的种类有关，是一个量纲为 \(1\) 的常量
- 电介质的相对介电常数 \(\varepsilon_r = 1 + \chi_e\)，介电常数 \(\varepsilon=\varepsilon_r \varepsilon_0 = (1 + \chi_e)\varepsilon_0\)
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公式 |
| 极化强度 |
\(\mathbf{P}=\dfrac{\sum\mathbf{p}_{分子}}{\Delta V}= \epsilon_0(\epsilon_r-1)\mathbf{E}\) |
| 极化（束缚）电荷面密度 |
\(\sigma^{\prime}=P\cos\theta=P_{\text{n}}\)，即电极化强度 \(\mathbf{P}\) 沿电介质表面外法线方向的分量 |
| 电极化强度与束缚电荷分布的关系 |
 \(\oint_{S} \mathbf{P} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=-\sum\limits_{(S_ \text {内})} q^{\prime}=-\int_{V} \rho^{\prime} \mathrm{d} V\) 注：\(q^{\prime}\) 是闭合面 \(S\) 所包围的体积 \(V\) 内的束缚电荷，\(\rho^{\prime}\) 是体积元 \(\mathrm{d}V\) 处的束缚电荷体密度 |
| 电介质中的场 |
\(\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 + \mathbf{E}' =\dfrac{\sigma_0}{\varepsilon_0} - \dfrac{\sigma'}{\varepsilon_0}\) |
| 电位移 |
\(\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E}\) |
| 电介质中的高斯定理 |
\(\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \sum\limits_{(S_内)} q_0\)，其中只包含自由电荷，不包含束缚电荷 |
| 点电荷系统的能量 |
\(W = \dfrac{1}{2}\sum q_{i}U_{i} = \dfrac{1}{2}\iiint_{V} Udq = \dfrac{1}{2}\iiint_{V} U\rho dV = \dfrac{1}{2}\iint_{S} U\sigma dS\) |
| 带电导体的能量 |
\(W_{\text{e}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C} = \dfrac{1}{2}CU^{2} = \dfrac{1}{2}qU\) |
| 电场的能量密度 |
\(w_{\text{e}} = \dfrac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{\text{r}}E^{2} = \dfrac{1}{2}DE\) |
| 电场的能量 |
\(W = \int_{V} w_{\text{e}} \mathrm{d}V = \int_{V}\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{\text{r}}E^{2}\text{d}V\) |
极化电荷面密度
一平行板电容器，其极板面积为 \(S\)，两板间距为 \(d\)（ \(d << \sqrt{S}\)），中间充有各向同性的电介质，其界面与极板平行，相对介电常数分别为 \(\varepsilon_{r1}\)和 \(\varepsilon_{r2}\)，厚度分别为 \(d_1\) 和 \(d_2\)，如图所示。设两极板上所带电量分别为 \(+Q\) 和 \(-Q\)，求两介质交界面上的极化电荷面密度．
答案
\(E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_{r1}} = \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon_{r1} S}\)，同理得 \(E_2 = \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon_{r2} S}\)
\(\sigma' = \sigma_1' + \sigma_2' = P_{1n} + P_{2n} = \varepsilon_0 (\varepsilon_{r1} - 1)E_1 - \varepsilon_0 (\varepsilon_{r2} - 1)E_2 = \frac{\varepsilon_{r1} - \varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1} \varepsilon_{r2}} \frac{Q}{S}\)
极化电场强度易错题
一平行板电容器中充满相对介电常数为 \(\varepsilon_r\) 的各向同性均匀电介质．已知介质两表面极化电荷面密度分别为 \(\pm\sigma'\)，则极化电荷在电容器中产生的电场强度大小为 \(\underline{\qquad}\) ．
答案
尽管总电场 \(E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}\)，但极化电荷单独产生的电场为 \(E' = \dfrac{\sigma'}{\varepsilon_0}\)
电场能量
一半径为 \(R\) 的导体球带电量为 \(Q\)，放在相对介电常数为 \(\varepsilon_{r}\) 的无限大均匀电介质中，则电场的总能量 \(W = \underline{\qquad}\) .
答案
\(E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}r^{2}}\)，\(W = \iiint_{V}\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E^{2}\mathrm{d}V = \int_{R}^{\infty}\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\mathrm{d}r = \frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}R}\)
3 静电场中金属导体问题
3. 1 静电平衡
- 导体内部电场强度处处为零，即 \(\mathbf{E}=\mathbf{0}\)
- 导体为等势体（内部电势 \(\mathbf{V}\) 为常量）其表面为等势面
- 导体表面电场强度与表面垂直，即 \(\mathbf{E}=\mathbf{E}_{\mathrm{n}}\)
- 空心导体（导体空腔）净电荷分布与实心导体相同，仅分布于外表面上，内部无净电荷
- 导体表面附近的电场强度为 \(E=\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\)，孤立导体曲率越大，\(\sigma\) 越大
电势
半径为 \(R\) 的金属球原来不带电，在球外离球心 \(O\) 的距离为 \(l\) 处放一点电荷，电量为 \(q\)，如图所示．若取无穷远处为电势零点，则静电平衡后金属球表面处的电势 \(V=\underline{\qquad}\)．
答案
\(V_{R} = V_{O} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}l} + \frac{\sum q}{4\pi\varepsilon_{0}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}l}\)
如图所示，一封闭的导体空腔 \(\text{A}\) 内有两个导体 \(\text{B}\) 和 \(\text{C}\)。\(\text{A}\)、\(\text{C}\)不带电，\(\text{B}\) 带正电，则三个导体中电势最高的是 \(\underline{\qquad}\) ；最低的是 \(\underline{\qquad}\) 。
答案
当静电平衡时，导体空腔 \(\text{A}\) 内壁感应出负电荷，外表面感应出正电荷，电场线从 \(\text{B}\) 指向 \(\text{C}\) 和 \(\text{A}\) 内壁，沿电场线方向电势降低，故导体 \(\text{B}\) 电势最高，导体 \(\text{A}\) 电势最低
电场强度
真空中一无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度均为 \(\sigma\)，现在导体板右侧充满介电常数为 \(\varepsilon\) 的均匀电介质。如图所示，试求导体板左侧面、右侧面上的自由电荷面密度 \(\sigma_1\)、\(\sigma_2\) 以及电介质表面的极化电荷面密度 \(\sigma'\)。
答案
导体静电平衡要求内部电场为零，故左右两侧的电场在导体内部叠加抵消，即 \(E_2 = E_1\)
取柱形高斯面（一端在导体内部，一端在电介质中），则 \(D_1 = \sigma_1\)，\(E_1 = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0}\)，同理 \(E_2 =\frac{\sigma_2}{\varepsilon}\)
又 \(\sigma_1 + \sigma_2 = 2\sigma\)，则 \(\sigma_1 = 2\sigma\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_0 + \varepsilon}\)，\(\sigma_2 = 2\sigma\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0 + \varepsilon}\)，\(E_1 = E_2 = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0 + \varepsilon}\)
\(P = \varepsilon_0 (\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} - 1) E = 2\sigma\frac{\varepsilon - \varepsilon_0}{\varepsilon_0 + \varepsilon}\)，故 \(\sigma' = P\cos\pi = -P = 2\sigma\frac{\varepsilon_0 - \varepsilon}{\varepsilon_0 + \varepsilon}\)
3. 2 静电屏蔽
- 空腔内无带电体：达到静电平衡时，空腔内的电场强度等于零，空腔内的物体或仪器不会受到外电场的影响
- 空腔内有带电体（导体空腔本身不带电）：
| 情况 |
结果 |
示意图 |
| 外表面不接地 |
外表面上电荷产生的电场会对外界产生影响 |
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| 外表面接地 |
外表面上无电荷，空腔内外的电场互不干扰 |
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| 常见操作 |
含义 |
| 接地 |
改变导体所带电荷量，使得其电势为 0 |
| 连接 |
两个导体等电势，电荷在两个导体间重新分布 |
接地
一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 \(R\)。在腔内离球心的距离为 \(d\) 处（\(d < R\)），固定一点电荷 \(+q\)。用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点，则球心 \(O\) 处的电势为 \(\underline{\qquad}\).
答案
球壳接地后电势为零，内表面带电荷 \(-q\)，外表面无电荷，则 \(U_{O} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}d}+\frac{-q}{4\pi\varepsilon_{0}R} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} (\frac{1}{d} - \frac{1}{R})\)